Ανισότητα

mick7 · #1

Έστω

οι πλευρές ενός τριγώνου. Να δείξετε οτι ισχύει η ανισότητα

3x^2+2yz>2xy+2xz

#2

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 5:52 pm
Έστω οι πλευρές ενός τριγώνου. Να δείξετε οτι ισχύει η ανισότητα

.

: ανισ.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

.
Αν στο τρίγωνο XYZ

σχεδιάσουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο, αυτός ορίζει στις πλευρές τμήματα μήκους p,q,r

, όπως στην εικόνα. Συγκεκριμένα, $x=p+q, \, y=q+r, \, z=r+p$ . Έχουμε τότε

3x^2+2yz-2xy-2xz = 3(p+q)^2+2(q+r)(r+p)-2(p+q)(y+r)-2(p+q)(r+p)=

, όπως θέλαμε.

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 5:52 pm
Έστω οι πλευρές ενός τριγώνου. Να δείξετε οτι ισχύει η ανισότητα

(Θα αλλάξω τον συμβολισμό σε a,b,c

για να είμαστε πιο κοντά στην καθιερωμένη πρακτική). Θέλουμε να δείξουμε

3a^2+2bc> 2ab+2ac

Έχουμε από τον Νόμο των Συνημιτόνων

$3a^2+2bc -2ab-2ac= a^2 + 2a^2 +2bc -2ab-2ac = (b^2+c^2-2bc \cos A) + 2a^2 +2bc -2ab-2ac =$

$= (a^2-2ab +b^2)+(a^2-2ac + c^2)+2ab(1-\cos A) =$

$=(a-b)^2 +(a-c)^2+2ab(1-\cos A) \ge 2ab(1-\cos A) >0$ (διότι $|\cos A |< 1$ )

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 11:27 pm

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 5:52 pm
Έστω οι πλευρές ενός τριγώνου. Να δείξετε οτι ισχύει η ανισότητα

(Θα αλλάξω τον συμβολισμό σε για να είμαστε πιο κοντά στην καθιερωμένη πρακτική). Θέλουμε να δείξουμε

Και αλλιώς: Θέλουμε να δείξουμε ότι 3a^2+2bc> 2ab+2ac

. Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι για τρίγωνα ισχύει a>|b-c|

, ισοδύναμα a^2>(b-c)^2

. Άρα

mathematica.gr

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση