Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#221

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Αύγ 05, 2025 8:03 pm .
Άσκηση 62
Δείξτε ότι η εξίσωση $x^5=[x]^5 +\{x\}^5$ , πέρα από τις "προφανείς" ρίζες $[0,\,1]\cup \mathbb Z$ , δεν έχει άλλες.

Παραλλαγή των παραπάνω. Αφού εξετάσουμε τις περιπτώσεις $[x]=0, \, \{x\} =0$ , ας δούμε τις περιπτώσεις $[x]\ne 0, \, \{x\} \ne 0$ . Η εξίσωση γράφεται

$\{x\}^5= x^5-[x]^5 = (x-[x])( x^4 + x^3[x]+x^2[x]^2+x[x]^3+[x]^4)=$

$=\{x\}( x^4 + x^3[x]+x^2[x]^2+x[x]^3+[x]^4)$ . Άρα για $\{x\}\ne 0$ ,

$\{x\}^4= x^4 + x^3[x]+x^2[x]^2+x[x]^3+[x]^4$

Το δεξί μέλος είναι $\ge 0$ διότι όλοι οι προσθετέοι είναι γινόμενα ομόσημων. Ακόμα καλύτερα, αν $[x]\ne 0$ , τότε ως ακέραιος, είναι $[x]^4\ge 1$ . Οπότε ισχύει $\{x\}^4 \ge 1$ , που είναι αδύνατη αφού πάντα $0 \le \{x\}<1$ .

Συνοψίζοντας, έχουμε μόνο τις προφανείς ρίζες.

Dimessi · #222

$\bullet$ Συνεχίζω με δύο πολύ πιο δύσκολες ασκήσεις για μαθητές ,πλην όμως ιδιαίτερα ελκυστικές.

'Ασκηση 63 Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους

για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle \left [ \frac{1}{3} \right ]+\left [ \frac{2}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{2}}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{3}}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2^{2n}}{3} \right ]\leq 10n.$

Άσκηση 64 Έστω a,b,c>0

και

θετικός ακέραιος . Να προσδιορίσετε τις πραγματικές λύσεις

της ,ως προς

ανίσωσης $\displaystyle \sin ^{n}2x+\left ( \sin ^{n}x-\cos ^{n}x \right )^{2}\geq \frac{2}{3}\left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2+b^{2}+c^{2} }+\frac{c^{2}+a^{2}}{2+c^{2}+a^{2}} \right),$

καθώς και τις τιμές των a,b,c

για τις οποίες επιτυγχάνεται η ισότητα.
Edit: Ειχε ξεχασθει να περαστεί το επιπλεον δεδομενο

#223

Dimessi έγραψε: Παρ Αύγ 22, 2025 5:53 pm 'Ασκηση 63 Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle \left [ \frac{1}{3} \right ]+\left [ \frac{2}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{2}}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{3}}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2^{2n}}{3} \right ]\leq 10n.$

Απάντηση:

ή

.

Αν ένα

ικανοποιεί την δοθείσα, τότε από την $[x]\ge x-1$ και το γεγονός ότι αθροίζονται 2n+1

όροι, θα ικανοποιεί και την

$\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2^{2}}{3} + \dfrac{2^{3}}{3}+...+ \dfrac{2^{2n}}{3} - (2n+1)\leq 10n$ και άρα

$\dfrac {2^{2n+1}-1}{3} -(2n+1)\le 10n$ , ισοδύναμα $4^n\le 18n+2$ .

Όμως για $n\ge 3$ ισχυρίζομαι ότι ισχύει η ανάποδη ανισότητα, δηλαδή 4^n > 18n+2

. Πράγματι, αυτό είναι προφανές για n=3

διότι $4^3=64>18\cdot 3+2$ . Για τα υπόλοιπα εργαζόμαστε επαγωγικά. Το επαγωγικό βήμα είναι

$4^{n+1} =4\cdot 4^n > 4(18n+2)= 72n+2=18n+18n+36n+2\ge 18n+18 + 0+2=18(n+1)+2$ , όπως θέλαμε.

Συνοψίζοντας, οι υποψήφιοι θετικοί ακέραιοι

που ικανοποιούν την αρχική ανισότητα είναι οι n=1,2

. Τους ελέγχουμε με το χέρι.

α) n=1

. Tότε $\left [ \frac{1}{3} \right ]+\left [ \frac{2}{3} \right ]+ \left [ \frac{2^2}{3} \right ]= 0+0+1= 1\le 10$ (δεκτό).

β) n=2

. Tότε $\left [ \frac{1}{3} \right ]+\left [ \frac{2}{3} \right ]+\left [ \frac{2^2}{3} \right ]+\left [ \frac{2^3}{3} \right ]+\left [ \frac{2^4}{3} \right ]=0+0+1+2+5= 8\le 10\cdot 2$ (δεκτό).

Tελειώσαμε.

Δημήτρη: Δεν βλέπω καμία σχέση της άσκησης με τα πολυώνυμα, που είναι ο φάκελος στο θρεντ. Έχεις κάτι άλλο στον νου;
Αν όχι, παρακαλώ τους επιμελητές να μεταφέρουν την άσκηση σε σωστό φάκελο.
Με την ευκαιρία ας ρωτήσω αν και η Άσκηση 64 που πρότεινες έχει σχέση με πολυώνυμα. Αλλιώς, ας μεταφερθεί και αυτή στον σωστό φάκελο.

,

Dimessi · #224

Έχω λύση και για τις δύο που βασίζεται σε πολυώνυμα .
Θα τις γράψω αύριο αν είναι.
Σήμερα πέφτω για ύπνο.

#225

Dimessi έγραψε: Σάβ Αύγ 23, 2025 12:26 am Έχω λύση και για τις δύο που βασίζεται σε πολυώνυμα .
Θα τις γράψω αύριο αν είναι.
Σήμερα πέφτω για ύπνο.

Ευχαριστώ για την απάντηση.

Δεν υπάρχει λόγος να γράψεις αύριο την λύση. Καλό είναι να δίνεται εύλογο χρονικό διάστημα να γράψει κάποιος λύση, πέρα από τον θεματοθέτη.

Dimessi · #226

Μην το δείτε αυτό τα παιδιά

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#227

Δημήτρη, νομίζω ότι είναι ατυχής η ενέργειά σου να απαντήσεις εσπευσμένα στην άσκηση, χωρίς να δώσεις εύλογο χρόνο στους αναγνώστες.

Επισημαίνω ότι η αρχική εκφώνηση ήταν ελλειπής (ανθρώπινα τα λάθη και δεν μέμφομαι). Όμως, δεδομένου ότι έκανες την διόρθωση ΜΕΤΑ που εμφανίστηκε η λύση σου, είναι ένας λόγος παραπάνω να υπάρχει θέμα με την ανάρτηση της λύσης σε χρόνο δυσανάλογα μικρό.

Ας προσθέσω ότι είχα αφιερώσει χρόνο για την λύση, εννοείται πριν την διόρθωση. Η άσκηση λύνεται και χωρίς την διόρθωση αλλά η απάντηση είναι διαφορετική γιατί τώρα υπάρχει πληθώρα ριζών

αλλά η περιγραφή τους είναι ιδιαίτερα επίπονη, και γι΄αυτό δεν την ανάρτησα αφού η πληκτρολόγιση ξεπερνούσε την υπομονή μου. Για παράδειγμα είναι διαφορετικού τύπου όταν το

είναι άρτιος ή, αντίστοιχα, περιττός. Τα γραφήματα παρακάτω το δείχνουν αυτό, αλλά ας μην τα ερμηνεύσω αφού αφορούν άλλη εκφώνηση.

Και ένα τελευταίο σχόλιο. Θεωρώ ότι η άσκηση είναι σε θεματική "Ανισότητες". Τα πολυώνυμα έχουν δευτερεύοντα ρόλο. Και μάλιστα μπορούν να απαφευχθούν διότι το άνω φράγμα του αριστερού μέλους (όπου είναι το μόνο σημείο που μπήκαν τα πολυώνυμα) βγαίνει ευκολότατα με παραγώγους χωρίς να μπούμε στην διαδικασία του αναπτύγματος του διωνύμου.

Επίσης θα ήθελα να έβλεπα και μία λύση της Άσκησης 63, με χρήση πολυωνύμων. Αυτή που ανάρτησα, δεν έχει τίποτα σχετικό με πολυώνυμα.
.

Dimessi · #228

$\bullet$ Αρχικά, το καταλαβαίνω ότι δεν μέμφεστε, δεν χρειάζεται να απολογείστε κύριε Λάμπρου. Κυρίως, επειδή η μεταξύ μας εκτίμηση όσον αφορά την επιστημονική ακεραιότητα του καθενός μας, είναι αμοιβαία.
$\bullet$ Πρώτα από όλα, οφείλω να παραδεχτώ ότι το γεγονός ότι πρώτα ανάρτησα τη λύση μου και έπειτα προσέθεσα το επιπλέον δεδομένο a+b+c=3

, είναι δική μου αβλεψία. Τυπογραφική μεν, εκ του αποτελέσματος (όσον αφορά τον αντίκτυπο στους αναγνώστες που ασχολήθηκαν με άλλη άσκηση) άκρως ουσιαστική, δε.
$\bullet$ Επίσης, να ξεκαθαρίσουμε ότι η απόφαση που πήρα να απαντήσω εσπευσμένα στην άσκηση απορρέει από το γεγονός ότι προχθές, εσείς ο ίδιος, σπεύσατε αμέσως να αφήσετε να εννοηθεί δημόσια ότι αμφιβάλλατε για το γεγονός ότι έχω λύση που περιέχει πολυώνυμα (η οποία παρεπιπτόντως είναι η πλέον ενδεδειγμένη σε φάκελο διαγωνισμών, σε σχέση με την παραγώγιση που είναι πιο τετριμμένη τεχνική).Αξίζει όμως να σημειωθεί ότι απάντησα με κρυμμένο κείμενο και τόνισα στους μαθητές να μην κοιτάξουν τη λύση μου, συμπεριφορά που αποσαφηνίζει τις προθέσεις μου . Αυτό βέβαια το επιχείρημα θα μπορούσε να το αντικρούσει κάποιος , λέγοντας ότι οι αναγνώστες μπήκαν στον πειρασμό να δουν τι γράφω στο κρυμμένο κείμενο. Αυτό για μένα δεν αποτελεί επιχείρημα, αλλά φτηνή δικαιολογία που στηρίζεται πάνω σε έναν μηχανισμό αποφυγής μιας άσκησης που δεν μπορεί να λύσει. Αλλιώς, θα πάλευε μόνος του την άσκηση και δεν θα παρέδιδε τα όπλα, διαβάζοντας τη λύση του θεματοθέτη.
$\bullet$ Η άσκηση που είχα κατά νου δεν είναι αυτή που δεν περιέχει το δεδομένο a+b+c=3

, το οποίο προσέθεσα έπειτα. Χωρίς αυτό το δεδομένο, η πληκτρολόγηση γίνεται πάρα πολύ επίπονη και ,κατ' επέκταση ,η όμορφη αυτή άσκηση (με το δεδομένο a+b+c

) μετατρέπεται σε θέμα ''τραβηγμένο από τα μαλλιά'' που δεν αποσκοπεί σε κάποια βαθύτερη σκέψη.
$\bullet$ Θα έλεγα ότι είναι ένας συνδυασμός Ανισοτήτων και Πολυωνύμων. Το βασικό επίχειρημα όμως, στηρίζεται στην ανισότητα
$\displaystyle \sin^{n}2x+\left ( \sin^{n}x-\cos^{n}x \right )^{2}\leqslant 1.$ Αυτή μας επιτρέπει να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι $\displaystyle 1\geq \frac{2}{3}\sum_{cyc}^{}\frac{a^{2}+b^{2}}{2+a^{2}+b^{2}}.$ Το γεγονός ότι δεν υπάρχει σχέση ή συνθήκη εξάρτησης (μεγάλος ''βαθμός ελευθερίας' )μεταξύ της τριάδας (a,b,c)

και του θετικού ακεραίου

, μας υποψιάζει κατευθείαν ότι η ανισότητα με τα a,b,c

είναι απλά ένα στολίδι που εξυπηρετεί τον σκοπό της άσκησης, ο οποίος είναι να οξύνει την ευρηματικότητα όσον αφορά τη σκέψη του αναγνώστη πάνω στα πολυώνυμα. Ακριβώς, επειδή πρέπει να φτιάξει μόνος του την ανισότητα $\displaystyle \sin^{n}2x+\left ( \sin^{n}x-\cos^{n}x \right )^{2}\leq 1.$ και να την αποδείξει με πολυώνυμα.
$\bullet$ Θα παραθέσω τη λύση μου αύριο για την άσκηση 63. Τώρα είναι επίπονο μετά από τόσο γράψιμο. Παρόλο που είμαι ξενύχτης τύπος, παίρνω και τα ρεπό μου που και που

#229

.
Άσκηση 65
Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός αν δύο ρίζες $r_1, \, r_2$ της εξίσωσης

.

ικανοποιούν

add2math · #230

Έστω $r_1,r_2,r_3,r_4 \in \mathbb{C}$ οι ρίζες του πολυωνύμου.
Από του τύπους Vieta έχω

$r_1r_2r_3r_4=-2000\Rightarrow r_3r_4=50$

$r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4=−260 \Rightarrow -4(r_3+r_4)+5(r_1+r_2)=−26$ (*)

που σε συνδυασμό με την (*) δίνει

Τέλος έχω
$a=r_1r_2+r_1r_3+r_1r_4+r_2r_3+r_2r_4+r_3r_4=r_1r_2+(r_1+r_2)(r_3+r_4)+r_3r_4=-40+6\cdot14+50=94$

Το αρχικό πολυώνυμο είναι λοιπόν το x^4-20x^3+94x^2+260x-2000=(x^2-6x-40)(x^2-14x+50)

με ρίζες

, που επαληθεύουν τη συνθήκη του προβλήματος.

#231

.
Άσκηση 66
Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Έστω ακόμα ότι υπάρχουν τρεις διαφορετικοί ανά δύα ακέραιοι με Να αποδείξετε ότι το δενέχει ακέραιες ρίζες.

Dimessi · #232

Αν είχε ακέραια ρίζα γράφουμε $p\left ( x \right )=\left ( x-r \right )Q\left ( x \right ),$ όπου το Q(x)

#233

.
Άσκηση 67
Έστω $a,\, b,\,c,\,d$ πραγματικοί αριθμοί. Είναι γνωστό ότι η εξίσωση έχει ρίζες τις $c,\,d$ , και η έχει ρίζες τις $a,\,b$ ,
Να βρεθεί η τιμή της παράστασης .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #234

Aς δούμε λίγες σκέψεις πάνω στην άσκηση 67.
Τα όσα ακολουθούν λαμβάνουν υπόψιν ότι οι b,d

είναι διάφοροι του μηδενός.
Ισχύει ότι c+d=3a, cd=2b

και

Συνεπώς $cd\cdot ab=2b\cdot 2d\Rightarrow ac=4$
Φυσικά ισχύει ότι $\left( a+b \right)\left( c+d \right)=9ac$ και έτσι $\left( a+b \right)\left( c+d \right)=9\cdot 4=36.$

Αν d=0

τότε εύκολα προκύπτει ότι και b=0.

Έτσι οδηγούμαστε στις ισότητες a-3c=0 , 3a-c=0

που καταλήγουν στο a=c=0.

H άσκηση δεν έχει νόημα.

#235

.
Άσκηση 68
Έστω $a,\,b,\,c$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί. Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ x^3- \left ( \dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {c}{a} \right ) x^2 + \left ( \dfrac {a}{c} + \dfrac {b}{a} + \dfrac {c}{b} \right ) x -1 =0 }$

add2math · #236

Έχω $\displaystyle{ x^3- \left ( \dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {c}{a} \right ) x^2 + \left ( \dfrac {a}{c} + \dfrac {b}{a} + \dfrac {c}{b} \right ) x -1 =0 }\Leftrightarrow$
$\displaystyle{ x^3- \left ( \dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {c}{a} \right ) x^2 + \left ( \dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {b}{c} +\dfrac {b}{c} \cdot \dfrac {c}{a} + \dfrac {c}{a} \cdot \dfrac {a}{b} \right ) x - \dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {b}{c} \cdot \dfrac {c}{a} =0 }\Leftrightarrow$
$\displaystyle{\left (x- \dfrac {a}{b} \right ) \left (x- \dfrac {b}{c} \right )\left (x- \dfrac {c}{a} \right ) }\Leftrightarrow$
$\displaystyle{x= \dfrac {a}{b} \vee x= \dfrac {b}{c} \vee x= \dfrac {c}{a} }$

Διορθώθηκαν τυπογραφικές αβλεψίες (αναγραμματισμοί) μετά από ευγενική υπόδειξη του Μιχάλη.

Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση