Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

#1

Καλή Χρονιά

: Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

Στις πλευρές BC, CD

ρόμβου

πλευράς

θεωρούμε τα σημεία P, Q

αντίστοιχα,

ώστε BP=CQ=x

και

Αν η

τέμνει την

στο

α) να βρείτε το λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ συναρτήσει του k.....

β) Αν $\dfrac{AN}{NC}=4,$ να βρείτε το

Dimessi · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 01, 2026 2:21 pm
Καλή Χρονιά

Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.png
Στις πλευρές ρόμβου πλευράς θεωρούμε τα σημεία αντίστοιχα,

ώστε και Αν η τέμνει την στο

α) να βρείτε το λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ συναρτήσει του β) Αν $\dfrac{AN}{NC}=4,$ να βρείτε το

Καλή Χρονιά

$\bullet$ Έστω $\displaystyle J\equiv QP\cap AB\overset{JB \parallel QC}\Rightarrow \frac{JB}{x}=\frac{PB}{PC}=\frac{1}{k+1}\Rightarrow JB=\frac{x}{k+1}.$
Από το Θεώρημα του Μενέλαου στο $\vartriangle CBA$ με διατέμνουσα $\displaystyle \overline{JPN}:\frac{JB}{JA}\cdot \frac{PC}{PB}\cdot \frac{AN}{NC}=1\overset{\frac{PC}{PB}\overset{JB \parallel QC}=\frac{QC}{JB}}\Rightarrow \boxed{\frac{AN}{NC}=\frac{JA}{x}=k+2+\frac{1}{k+1}}.$

: Πρωτοχρονιάτικο Φ.png (20.43 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

KARKAR · #3

β) $k+2+\dfrac{1}{k+1}=4 ... \Leftrightarrow k=\phi$ ( για να τιμήσουμε την έμπνευση του θεματοδότη

)

KARKAR · #4

: φ+2.png (13.1 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Δύο Μενέλαοι : $\dfrac{x}{a-x}\cdot\dfrac{2d+y}{y}\cdot\dfrac{x}{a-x}=1$ , συνεπώς : $\dfrac{d}{y}=\dfrac{k(k+2)}{2}$ .

$\dfrac{CN}{NO}\cdot\dfrac{d+y}{y}\cdot\dfrac{x}{a-x}=1$ , επομένως : $\dfrac{CN}{NO}=\dfrac{2(k+1)}{k^2+2k+2}$ .

Τώρα : $\dfrac{CN}{NA}=\dfrac{CN}{2NO+CN}=... \dfrac{k+1}{k^2+3k+3}$ , δηλαδή : $\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{k^2+3k+3}{k+1}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 01, 2026 2:21 pm
Καλή Χρονιά

Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.png
Στις πλευρές ρόμβου πλευράς θεωρούμε τα σημεία αντίστοιχα,

ώστε και Αν η τέμνει την στο

α) να βρείτε το λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ συναρτήσει του β) Αν $\dfrac{AN}{NC}=4,$ να βρείτε το

A) $\triangle PBZ \simeq \triangle QPC \Rightarrow BZ= \dfrac{x}{k+1} \Rightarrow AZ=(k+2+ \dfrac{1}{k+1})x$

$\dfrac{AN}{NC} = \dfrac{AZ}{QC}=k+2+ \dfrac{1}{k+1}$

B) $k+2+ \dfrac{1}{k+1}=4 \Rightarrow ...k= \Phi$

: Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.png (19.76 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

#6

Η λύση μου μοιάζει περισσότερο με του Μιχάλη (με όμοια τρίγωνα).

Φέρνω PM//AB

και εύκολα PM=(k+1)x, a=(k+2)x.

: Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.β.png (17.2 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{CM}}{{MA}} = k + 1 \Leftrightarrow \frac{{CA}}{{AM}} = k + 2 \Leftrightarrow AM = \frac{{AN + NC}}{{k + 2}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{MN}}{{NC}} = k + 1 \Leftrightarrow MN = (k + 1)NC$ και με πρόσθεση κατά μέλη

$\displaystyle AM + MN = \frac{{AN + NC}}{{k + 2}} + (k + 1)NC \Leftrightarrow AN(k + 2) = AN + NC + (k + 1)(k + 2)NC,$

απ' όπου $\boxed{\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{{k^2} + 3k + 3}}{{k + 1}}}$ και για $\displaystyle \frac{{AN}}{{NC}} = 4 \Leftrightarrow$ $\boxed{k=\Phi}$

STOPJOHN · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 01, 2026 2:21 pm
Καλή Χρονιά

Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.png
Στις πλευρές ρόμβου πλευράς θεωρούμε τα σημεία αντίστοιχα,

ώστε και Αν η τέμνει την στο

α) να βρείτε το λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ συναρτήσει του β) Αν $\dfrac{AN}{NC}=4,$ να βρείτε το

α) Το τετράπλευρο SNLA

είναι ρόμβος και $\dfrac{NK}{QC}=\dfrac{PK}{PC},AS=y,NK=a-y,KP=(k+1)x-(a-y),PC=(k+1)x,\dfrac{AN}{NK}=\dfrac{y}{a-y}, a(k+1) -y(k+1)=(k+1)x-a+y,(*), (k+2)x=a,(**) , (*) ,(**)\Rightarrow \dfrac{y}{a}=\dfrac{(k+1)^{2}}{(k+2)^{2}},\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{k^{2}+3k+3}{k+1}$

β) $\dfrac{k^{2}+3k+3}{k+1}=4\Leftrightarrow k^{2}-k-1=0\Leftrightarrow k=\Phi$

#8

Ένα επιπλέον ερώτημα:

: Αλλάξτε το Χ.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Το

είναι ρόμβος και BP=CQ.

Αν

είναι το μέσο του

και η

τέμνει τη

στο

να βρείτε το λόγο $\dfrac{AX}{XM}($ Μπορείτε ν' αλλάξετε το γράμμα

με ένα άλλο της αρεσκείας σας

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 06, 2026 11:05 am
Ένα επιπλέον ερώτημα: Αλλάξτε το Χ.png
Το είναι ρόμβος και Αν είναι το μέσο του και η τέμνει τη

στο να βρείτε το λόγο $\dfrac{AX}{XM}($ Μπορείτε ν' αλλάξετε το γράμμα με ένα άλλο της αρεσκείας σας

Στο παρακάτω σχήμα, είναι QE,PK//AX

,συνεπώς η

είναι διάμεσος

του τραπεζίου EQPK

άρα

$PK//AM \Rightarrow \dfrac{PK}{AM} = \dfrac{PL}{LA} = \dfrac{m}{a}$ και $QE//AM \Rightarrow \dfrac{QE}{AM} = \dfrac{QN}{NA} = \dfrac{n}{a}$

Με πρόσθεση παίρνουμε $\dfrac{PK+QE}{AM}= \dfrac{m+n}{a}=1 \Rightarrow \dfrac{2MX}{AM}=1 \Rightarrow \dfrac{AM}{MX}=2 \Rightarrow \dfrac{AX}{XM}=3$

: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι..png (28.63 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Dimessi · #10

: Διπλάσιο!.png (30.5 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Έστω $W\equiv DM\cap AB,U\equiv DM\cap BC,Z\equiv QP\cap AB.$

Από Θ. Μενέλαου στο $\triangle AMW$ με διατέμνουσα $\displaystyle \overline{DXB}:1=\frac{DM}{DW}\cdot \frac{AX}{XM}\cdot \frac{BW}{AB}\overset{\overline{ABZW}\parallel CD}=\frac{QM}{QZ}\cdot \frac{AX}{XM}\cdot \frac{BU}{UC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{QP}{QZ}\cdot \frac{AX}{XM}\cdot \frac{BU}{UC}=$ $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{CP}{CB}\cdot \frac{AX}{XM}\cdot \frac{BU}{UC}.$

Από Θ. Μενέλαου στο $\triangle CPQ$ με διατέμνουσα $\displaystyle \overline{DMU}:1=\frac{DQ}{DC}\cdot \frac{PM}{MQ}\cdot \frac{UC}{UP}\overset{PM=MQ}\Rightarrow \frac{UP}{UC}=\frac{CP}{CB}\Rightarrow \frac{PC}{UC}=\frac{CP+CB}{CB}\Rightarrow \frac{BU}{UC}=\frac{BC}{PC},$

άρα $\displaystyle \frac{AX}{XM}=2.$

Dimessi · #11

Διαφορετική λύση

Έστω $QR \parallel BC \left ( R\in AB \right ).$

Τότε $\displaystyle ADQR$ παρ./μο οπότε οι διαγώνιές του

,

διχοτομούνται στο

Από το ισοσκελές $\triangle BRP (BR=QC=BP)$ επειδή $BZ \equiv BD$ διχοτόμος της $\angle RBP$ , θα είναι και διάμεσος.

Οπότε το $L\equiv PV\cap DZ$ είναι το βαρύκεντρο του $\triangle DRP.$

Επομένως PL=2VL

κι αφού

διάμεσος στο $\triangle APQ$ , άρα το

είναι το βαρύκεντρο του $\triangle APQ.$

Οπότε η

διέρχεται από το μέσο

του

και άρα $L\equiv AM\cap DB\Rightarrow X\equiv L$ το βαρύκεντρο του $\triangle APQ.$

Οπότε $\displaystyle \frac{AX}{XM}=2.$

: Βαρύκεντρο..png (41.6 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

STOPJOHN · #12

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 01, 2026 2:21 pm
Καλή Χρονιά

Πρωτοχρονιάτικο χρυσάφι.png
Στις πλευρές ρόμβου πλευράς θεωρούμε τα σημεία αντίστοιχα,

ώστε και Αν η τέμνει την στο

α) να βρείτε το λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ συναρτήσει του β) Αν $\dfrac{AN}{NC}=4,$ να βρείτε το

Εστω ότι

δηλαδή το τετράπλευρο

ASQD

είναι παραλληλόγραμμο και

Οπότε το σημείο

είναι βαρύκεντρο του τριγώνου AQP

και

, $\dfrac{AX}{XM}=2$

#13

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 06, 2026 11:05 am
Ένα επιπλέον ερώτημα: Αλλάξτε το Χ.png
Το είναι ρόμβος και Αν είναι το μέσο του και η τέμνει τη

στο να βρείτε το λόγο $\dfrac{AX}{XM}($ Μπορείτε ν' αλλάξετε το γράμμα με ένα άλλο της αρεσκείας σας

H λύση μου:

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει τις BC, CD

στα

αντίστοιχα και PN||DC,

όπως

φαίνεται στο σχήμα. Είναι PK=PN=LQ,

άρα

δηλαδή τα

είναι μέσα των BC, CD.

: Συνέχεια ρόμβου.png (16.27 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές

Επομένως, $\displaystyle \frac{{AX}}{{XM}} = \frac{{AT}}{{TL}} = \frac{{AB}}{{DL}} = 2$

Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Re: Πρωτοχρονιάτικο Χρυσάφι

Μέλη σε σύνδεση