Απαιτητικός κύκλος

KARKAR · #1

: Απαιτητικός κύκλος.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

Με κέντρο το σημείο K(3,1)

να γραφεί κύκλος , ο οποίος να τέμνει τις πλευρές AO , AC

του τριγώνου AOC

, σε σημεία P , T

αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $PT \parallel OC$ .

#2

KARKAR έγραψε:Απαιτητικός κύκλος.pngΜε κέντρο το σημείο να γραφεί κύκλος , ο οποίος να τέμνει τις πλευρές του τριγώνου , σε σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $PT \parallel OC$ .

Αρκεί να βρεθούν τα σημεία $P\in AO$ και $T\in AC$ τέτοια ώστε να είναι $PT\parallel OC$ και KP=KT.

: Απαιτητικός κύκλος.; f=179 t=78762.PNG (14.76 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές

Φέρνουμε την δια του σημείου

παράλληλη ευθεία προς την OC,

η οποία τέμνει τις AO, AC,

στα σημεία έστω X, Y,

αντιστοίχως και ας είναι

το συμμετρικό σημείο του

ως προς το

προφανώς μεταξύ των K, Y,

από τα δεδομένα της εκφώνησης,

Η δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την

τέμνει την προέκταση (από τα δεδομένα) της

στο σημείο έστω

και έστω το σημείο $T\equiv AY\cap SZ,$

Η δια του σημείου

παράλληλη ευθεία προς την

τέμνει την $AX\equiv AO$ στο σημείο

Από το ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle SXY$ τώρα, εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει KP=KT

και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 21, 2026 6:18 am Απαιτητικός κύκλος.pngΜε κέντρο το σημείο να γραφεί κύκλος , ο οποίος να τέμνει τις πλευρές

του τριγώνου , σε σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $PT \parallel OC$ .

Το τρίγωνο APT

κατασκευάζεται ,γιατί , $\dfrac{AP}{AT}=\dfrac{AO}{AC}=ct,\hat{A}=ct$

Ακόμη $K\Theta \perp PT,P\Theta =T\Theta ,PK^{2}=K\Theta ^{2}+P\Theta ^{2}=R^{2}$

Αρα το σημείο

είναι σταθερό και η ακτίνα σταθερή

Διευκρινίζεται ότι $P\Theta =\dfrac{PT}{2}=ct,K\Theta =ct$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 21, 2026 6:18 am Απαιτητικός κύκλος.pngΜε κέντρο το σημείο να γραφεί κύκλος , ο οποίος να τέμνει τις πλευρές

του τριγώνου , σε σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $PT \parallel OC$ .

Λόγω παραλληλίας τα P, T

έχουν την ίδια τεταγμένη. Θέτω P(p,3p), T(t,3p)

και είναι

$\displaystyle KP = KT \Leftrightarrow |p - 3| = |t - 3| \Leftrightarrow 3 - p = t - 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{p+t=6}$ (1)

: Απαιτητικός κύκλος.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές

$\displaystyle \frac{{AP}}{{AO}} = \frac{{PT}}{{OC}} \Leftrightarrow \frac{{(2 - p)\sqrt {10} }}{{2\sqrt {10} }} = \frac{{t - p}}{{10}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} p = \frac{4}{3},$ $\displaystyle P\left( {\frac{4}{3},4} \right).$ άρα $\displaystyle R = KP = \frac{{\sqrt {106} }}{3}.$

Επομένως, ο κύκλος με εξίσωση $\boxed{{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = \frac{{106}}{9}}$ είναι ο ζητούμενος.

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 21, 2026 6:18 am Απαιτητικός κύκλος.pngΜε κέντρο το σημείο να γραφεί κύκλος , ο οποίος να τέμνει τις πλευρές

του τριγώνου , σε σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $PT \parallel OC$ .

Σταθερά είναι το

$\vartriangle ABC$ , το σημείο

άρα και η κάθετη στην

,απο το

καθώς και το μέσο ,

του

.

Κατασκευή .

Η διάμεσος

τέμνει την προαναφερθείσα κάθετο στο

. Η παράλληλη από το

προς την

είναι αυτή που θέλω .

: Απαιτητικός κύκλος_κατασκευή.png (27.25 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

#6

Doloros έγραψε: Τετ Ιαν 21, 2026 7:58 pm
KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 21, 2026 6:18 am Απαιτητικός κύκλος.pngΜε κέντρο το σημείο να γραφεί κύκλος , ο οποίος να τέμνει τις πλευρές

του τριγώνου , σε σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $PT \parallel OC$ .
Σταθερά είναι το $\vartriangle ABC$ , το σημείο άρα και η κάθετη στην ,απο το καθώς και το μέσο , του .

Κατασκευή .

Η διάμεσος τέμνει την προαναφερθείσα κάθετο στο . Η παράλληλη από το προς την είναι αυτή που θέλω .
Απαιτητικός κύκλος_κατασκευή.png

Με την "Φραγκάκια" λύση, ο κύκλος δεν είναι πλέον απαιτητικός...

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Όπως έχουμε πει Νίκο, εμείς μέχρι τα εκατόν τρία θα κάνουμε Γεωμετρία. Καλά να είσαι.

KARKAR · #7

Η λύση Φραγκάκη , έχει μοναδικό αλλά σημαντικό μειονέκτημα : Τα σημεία του σχήματος έχουν διαστάσεις

#8

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 21, 2026 9:32 pm Η λύση Φραγκάκη , έχει μοναδικό αλλά σημαντικό μειονέκτημα : Τα σημεία του σχήματος έχουν διαστάσεις

: Απαιτητικός κύκλος ok.png (21.67 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

Καλημέρα. Είμαι "εκτος έδρας" και με περιορισμένες δυνατότητες

Απαιτητικός κύκλος

Απαιτητικός κύκλος

Re: Απαιτητικός κύκλος

Re: Απαιτητικός κύκλος

Re: Απαιτητικός κύκλος

Re: Απαιτητικός κύκλος

Re: Απαιτητικός κύκλος

Re: Απαιτητικός κύκλος

Re: Απαιτητικός κύκλος

Μέλη σε σύνδεση