Μεγάλη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Μεγάλη μεγιστοποίηση.png (8.38 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Ευθεία παράλληλη προς την διάμεσο

τριγώνου

, τέμνει τις AB , AC

, στα

αντίστοιχα . Αν

το μέσο της

, υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου MST

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 26, 2026 3:35 am
Μεγάλη μεγιστοποίηση.pngΕυθεία παράλληλη προς την διάμεσο τριγώνου , τέμνει τις , στα

αντίστοιχα . Αν το μέσο της , υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

$\displaystyle \frac{{(MST)}}{{(AST)}} = \frac{{MP}}{{PA}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(MST) = \frac{{MP}}{{PA}}(AST)}$ (1)

: Μεγάλη μεγιστοποίηση.png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

$\displaystyle \frac{{(AST)}}{{(ABN)}} = \frac{{A{P^2}}}{{A{G^2}}} \Leftrightarrow (AST) = \frac{{A{P^2}}}{{A{G^2}}} \cdot \frac{{(ABC)}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} (MST) = \frac{{(ABC)}}{{2A{G^2}}}MP \cdot AP$

Αλλά, το (ABC)

είναι σταθερό όπως και η

είναι το βαρύκεντρο

άρα το ζητούμενο εμβαδόν

μεγιστοποιείται όταν το γινόμενο $MP\cdot AP$ γίνει μέγιστο, δηλαδή όταν $MP=AP=\dfrac{AM}{2}.$

Με αντικατάσταση κι επειδή $AG^2=\dfrac{4}{9} AM^2,$ παίρνω τελικά $\boxed{ {(MST)_{\max }} = \frac{{9(ABC)}}{{32}}}$

#3

Αισθάνομαι τυχερός που έχω την τύχη να μαθαίνω διαρκώς παρακολουθώντας στο

εξαιρετικά θέματα και λύσεις από σπεσιαλίστες του είδους!

Ομολογώ ότι την αρχική σχέση $\displaystyle \frac{{(MST)}}{{(AST)}} = \frac{{MP}}{{PA}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(MST) = \frac{{MP}}{{PA}}(AST)}$ (1)

που ξεκλείδωσε τη λύση της άσκησης την κατανόησα, αφού την είδα διατυπωμένη στη λύση του Γιώργου.

KARKAR · #4

: Η δημιουργία.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Ας δούμε πως φτάσαμε στην διαπίστωση του $\dfrac{9}{32}$ και στην εν συνεχεία τελική διατύπωση της άσκησης :

Από σημείο

της προέκτασης της

, φέρουμε την $PST\parallel BN$ και παρατηρούμε ότι το (MST)

μεγιστοποιείται όταν : $PB=\dfrac{a}{4}$ . Τότε είναι : $\dfrac{(MST)}{(ABC)}=0.28125$ , που βρίσκουμε ότι είναι το $\dfrac{9}{32}$ .

Τώρα έχουμε αρκετά όπλα να αποδείξουμε την εικασία μας ... Γιώργο , έχεις το πλειοψηφικό πακέτο στην

- ας μου επιτραπεί να την χαρακτηρίσω - σπουδαία άσκηση

Μεγάλη μεγιστοποίηση

Μεγάλη μεγιστοποίηση

Re: Μεγάλη μεγιστοποίηση

Re: Μεγάλη μεγιστοποίηση

Re: Μεγάλη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση