Ανισότητα

mick7 · #1

Αν

και

δείξτε οτι

$\displaytype \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{8 + \sqrt{ab}} \ge \frac{1}{3}$

Fotis34 · #2

mick7 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 3:43 pm Αν και δείξτε οτι

$\displaytype \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{8 + \sqrt{ab}} \ge \frac{1}{3}$

Καλησπέρα,

η δοθείσα ανισότητα είναι ισοδύναμη με την:
$\displaystyle 3 \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) \ge 8 + \sqrt{ab},$
προφανώς, από AM–GM για $\displaystyle{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ έχουμε:
$\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 2 \cdot \sqrt[4]{ab},$
άρα αρκεί να δείξουμε:
$\displaystyle 3 \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{ab} \ge 8 + \sqrt{ab} \quad \Longleftrightarrow \quad 6 \cdot \sqrt[4]{ab} \ge 8 + \sqrt{ab}.$

Θέτουμε $t = \sqrt[4]{ab}$ , άρα έχουμε να δείξουμε:
$\displaystyle 6t \ge 8 + t^2 \quad \Longleftrightarrow \quad 6t - t^2 - 8 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -t^2 + 6t - 8 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad t^2 - 6t + 8 \le 0$
$\displaystyle{(t-2)\cdot(t-4) \le 0}$ , άρα $\displaystyle{2≤t≤4}$
Η λύση, από αυτό το σημείο, εμπεριέχει λάθη.
Αφού a+b=8

, με χρήση της AM–GM είναι:
$\displaystyle ab \le 16,$
επειδή όμως θέσαμε πιο πριν $t = \sqrt[4]{ab}$ , άρα $t \le 2$ .
Συνδυάζοντας με $t \ge 2$ , παίρνουμε:
$\displaystyle t = 2.$

Άρα ab = 16

, και η ανισότητα ισχύει με ισότητα αν και μόνο αν a = b = 4

.

Υστερόγραφο. Επειδή δεν είμαι σίγουρος για την πληρότητα της λύσης ή την τεκμηρίωση της, για οποιαδήποτε ασάφεια, παρακαλώ, να μου το επισημάνεται.

Προσθήκη 9:30μμ

Σας ευχαριστώ κύριε Μιχάλη, τώρα νομίζω ότι το έχω κάνει σωστά.

Θέτουμε $\displaystyle{S = \sqrt{a} + \sqrt{b} > 0}$ .

Η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα ως $\displaystyle{(S-2)(S-4) \le 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2 \le S \le 4}$ .

Αυτή ισχύει αφού:

$\displaystyle \frac{\sqrt a + \sqrt b}{2} \le \sqrt{\frac{(\sqrt a)^2 + (\sqrt b)^2}{2}} = \sqrt{\frac{a+b}{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = 2$

$\displaystyle \Rightarrow S = \sqrt a + \sqrt b \le 4 \quad \Rightarrow \quad (S-4) \le 0.$

Και επειδή:

$\displaystyle S^2 = (\sqrt a + \sqrt b)^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 8 + 2\sqrt{ab} > 8$

$\displaystyle \Rightarrow S > \sqrt{8} \approx 2.828 > 2 \quad \Rightarrow \quad (S-2) > 0.$

Άρα:

Ο πρώτος παράγοντας θετικός και ο δεύτερος μη θετικός, άρα

$\displaystyle (\sqrt a + \sqrt b - 2)(\sqrt a + \sqrt b - 4) \le 0.$

με ισότητα να και μόνο αν $\displaystyle{a = b = 4}$ .

#3

Φώτη, για δες τα ξανά αυτά γιατί έχουν πολλά και σοβαρά λογικά σφάλματα.

Για διδακτικούς λόγους, ας δούμε μερικά.

Σε ένα σημείο γράφεις

Fotis34 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 5:30 pm
Θέτουμε $t = \sqrt[4]{ab}$ , άρα έχουμε να δείξουμε:
...
$\displaystyle{2≤t≤4}$

Μέχρι εκεί καλά. Μετά όμως γράφεις

Fotis34 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 5:30 pm
... άρα $t \le 2$ .
Συνδυάζοντας με $t \ge 2$ , παίρνουμε:
$\displaystyle t = 2.$

Δηλαδή το $t\ge 2$ το οποίο ήταν αποδεικτέο, το έκανες υπόθεση για να καταλήξεις στο t=2

. Αυτό δεν στέκει.

Εξ ίσου σοβαρό σφάλμα είναι ότι ξεκινάμε με a,b>0

και

για να καταλήξεις ότι

Fotis34 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 5:30 pm
$\displaystyle ab = 16$

Με λίγα λόγια λες ότι αν δύο θετικοί αριθμοί έχουν άθροισμα

τότε θα έχουν γινόμενο

. Αυτό δεν στέκει με τίποτα. Π.χ. οι a=7, b=1

έχουν άθροισμα

αλλά γινόμενο $7\ne16$ .

Επίσης, ανάγεις το πρόβλημα στο να δείξεις

Fotis34 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 5:30 pm
άρα αρκεί να δείξουμε:
$\displaystyle 3 \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{ab} \ge 8 + \sqrt{ab}$

Όμως αυτή δεν ισχύει. Π.χ. για a=7, b=1

είναι

$3 \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{ab} = 6 \sqrt[4]{7} \approx 9,76$ και $8 + \sqrt{ab} = 8+\sqrt 7 \approx 10,64$ , που δίνει την ανάποδη ανισότητα από αυτήν που θέλεις να δείξεις.

#4

Fotis34 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 5:30 pm Σας ευχαριστώ κύριε Μιχάλη, τώρα νομίζω ότι το έχω κάνει σωστά.

Και σωστό και ενδιαφέρον.

Nikitas K. · #5

mick7 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 3:43 pm Αν και δείξτε οτι

$\displaytype \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{8 + \sqrt{ab}} \ge \frac{1}{3}$

Ισχύει ότι:

$(a-4)^2 \geq 0 \Rightarrow a(8-a)\leq 16$

$\Rightarrow ab \leq 16$ από το δεδομένο a+b = 8

$\Rightarrow 0 < \sqrt{ab} \leq 4$ από το δεδομένο a>0

και

$\Rightarrow -1 < \sqrt{ab} - 1 \leq 3 \Rightarrow \left|\sqrt{ab} - 1\right|\leq 3\Rightarrow (\sqrt{ab}-1)^2 \leq 9$

$\Rightarrow (8 + \sqrt{ab})^2\leq 9 (8 + 2 \sqrt{ab})$

$\Rightarrow (8 + \sqrt{ab})^2\leq 9(a+b+2\sqrt{ab})$ από το δεδομένο ότι a+b = 8

$\Rightarrow (8 + \sqrt{ab})^2\leq \left[3(\sqrt{a}+\sqrt{b})\right]^2$

$\Rightarrow 8 + \sqrt{ab}\leq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ από $8 + \sqrt{ab} > 0$ και $3(\sqrt{a}+\sqrt{b}) > 0$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{8+\sqrt{ab}} \geq \dfrac{1}{3}$ με την ισότητα να ισχύει για a = 4

και

#6

mick7 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 3:43 pm Αν και δείξτε οτι

$\displaytype \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{8 + \sqrt{ab}} \ge \frac{1}{3}$

Το πρώτο μέλος της ανισότητας γράφεται, $\displaystyle f(a) = \frac{{\sqrt a + \sqrt {8 - a} }}{{8 + \sqrt {a(8 - a)} }},0 < a < 8$

$\displaystyle f'(a) = \frac{{\sqrt a \left( {a - 8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} {{\left( {\sqrt {a(8 - a)} + 8} \right)}^2}}},0 < a < 8,$ απ' όπου $\boxed{a=4}$ και $\boxed{f_{min}=f(4)=\frac{1}{3}}$

Fotis34 · #7

george visvikis έγραψε: Τετ Ιαν 28, 2026 10:51 am
mick7 έγραψε: Δευ Ιαν 26, 2026 3:43 pm Αν και δείξτε οτι

$\displaytype \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{8 + \sqrt{ab}} \ge \frac{1}{3}$
Το πρώτο μέλος της ανισότητας γράφεται, $\displaystyle f(a) = \frac{{\sqrt a + \sqrt {8 - a} }}{{8 + \sqrt {a(8 - a)} }},0 < a < 8$

$\displaystyle f'(a) = \frac{{\sqrt a \left( {a - 8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} {{\left( {\sqrt {a(8 - a)} + 8} \right)}^2}}},0 < a < 8,$ απ' όπου $\boxed{a=4}$ και $\boxed{f_{min}=f(4)=\frac{1}{3}}$

Καλησπέρα,

θα μπορούσατε να κάνετε πιο αναλυτικά το σημείο όπου παραγωγίζεται την συντήρηση $\displaystyle{f(a)}$ ;

Ευχαριστώ.

#8

Fotis34 έγραψε: Τετ Ιαν 28, 2026 3:09 pm
Καλησπέρα,

θα μπορούσατε να κάνετε πιο αναλυτικά το σημείο όπου παραγωγίζεται την συντήρηση $\displaystyle{f(a)}$ ;

Ευχαριστώ.

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle g(a) = \sqrt a + \sqrt {8 - a} \Rightarrow g'(a) = \frac{{\sqrt {8 - a} - \sqrt a }}{{2\sqrt {a(8 - a)} }}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle h(a) = 8 + \sqrt {a(8 - a)} \Rightarrow h'(a) = \frac{{2(4 - a)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} }}$ και $\displaystyle f'(a) = \frac{{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}}{{{h^2}(a)}}$

$\displaystyle f'(a) = \frac{{\left( {\sqrt {8 - a} - \sqrt a } \right)\left( {8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right) - 2(4 - a)\left( {\sqrt a + \sqrt {8 - a} } \right)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} {{\left( {8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}^2}}}$

Τον παρονομαστή τον έχω. Παίρνω λοιπόν μόνο τον αριθμητή και εκτελώ τις πράξεις.

$\displaystyle 8\sqrt {8 - a} + (8 - a)\sqrt a - 8\sqrt a - a\sqrt {8 - a} - 8\sqrt {8 - a} + 2a\sqrt {8 - a} - 8\sqrt a + 2a\sqrt a =$

$\displaystyle (8 - a)\sqrt a - 16\sqrt a + 2a\sqrt a + a\sqrt {8 - a} = \sqrt a \left( {a - 8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)$

Άρα, $\boxed{f'(a) = \frac{{\sqrt a \left( {a - 8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} {{\left( {8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}^2}}}}$

Αν θέλουμε μπορούμε να προχωρήσουμε κι άλλο τον αριθμητή και να γίνει:

$\displaystyle \sqrt a \left( {\sqrt {a(8 - a)} - {{\left( {\sqrt {8 - a} } \right)}^2}} \right) = \sqrt {a(8 - a)} \left( {\sqrt a - \sqrt {8 - a} } \right),$ όπου είναι φανερό ότι f'(4)=0.

Fotis34 · #9

george visvikis έγραψε: Πέμ Ιαν 29, 2026 8:47 am
Fotis34 έγραψε: Τετ Ιαν 28, 2026 3:09 pm
Καλησπέρα,

θα μπορούσατε να κάνετε πιο αναλυτικά το σημείο όπου παραγωγίζεται την συντήρηση $\displaystyle{f(a)}$ ;

Ευχαριστώ.
$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle g(a) = \sqrt a + \sqrt {8 - a} \Rightarrow g'(a) = \frac{{\sqrt {8 - a} - \sqrt a }}{{2\sqrt {a(8 - a)} }}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle h(a) = 8 + \sqrt {a(8 - a)} \Rightarrow h'(a) = \frac{{2(4 - a)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} }}$ και $\displaystyle f'(a) = \frac{{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}}{{{h^2}(a)}}$

$\displaystyle f'(a) = \frac{{\left( {\sqrt {8 - a} - \sqrt a } \right)\left( {8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right) - 2(4 - a)\left( {\sqrt a + \sqrt {8 - a} } \right)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} {{\left( {8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}^2}}}$

Τον παρονομαστή τον έχω. Παίρνω λοιπόν μόνο τον αριθμητή και εκτελώ τις πράξεις.

$\displaystyle 8\sqrt {8 - a} + (8 - a)\sqrt a - 8\sqrt a - a\sqrt {8 - a} - 8\sqrt {8 - a} + 2a\sqrt {8 - a} - 8\sqrt a + 2a\sqrt a =$

$\displaystyle (8 - a)\sqrt a - 16\sqrt a + 2a\sqrt a + a\sqrt {8 - a} = \sqrt a \left( {a - 8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)$

Άρα, $\boxed{f'(a) = \frac{{\sqrt a \left( {a - 8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}}{{2\sqrt {a(8 - a)} {{\left( {8 + \sqrt {a(8 - a)} } \right)}^2}}}}$

Αν θέλουμε μπορούμε να προχωρήσουμε κι άλλο τον αριθμητή και να γίνει:

$\displaystyle \sqrt a \left( {\sqrt {a(8 - a)} - {{\left( {\sqrt {8 - a} } \right)}^2}} \right) = \sqrt {a(8 - a)} \left( {\sqrt a - \sqrt {8 - a} } \right),$ όπου είναι φανερό ότι

Σας ευχαριστώ, πολύ!

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση