Έλεγχος ισχυρισμού

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!
Με αφετηρία θέμα της Γ Λυκείου , έφτασα στον ακόλουθο ισχυρισμό.

Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση

, με πεδίο ορισμού το [0,n]

και σύνολο τιμών το [0,m]

Για κάθε τιμή $a\in \left ( 0,m \right )$ υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in \left ( 0,n \right )$ με $x_{1}<x_{2}$

τέτοια ώστε $f(x_{1})=f(x_{2})=a$ και έστω $x_{2}-x_{1}=b$

Επιπλέον ισχύουν : Ι) Όταν το $a \mapsto 0$ το $b \mapsto n$ και ΙΙ) Όταν το $a \mapsto m$ το $b \mapsto 0$

Για μια τέτοια συνάρτηση (π.χ f(x)=-x^2+2x

με Π.Ο το

) εικάζω ότι αληθεύει ο επόμενος

Ισχυρισμός: Καθώς το

διατρέχει το (0,m)

,ο λόγος $l=\dfrac{a}{b}$ μπορεί να πάρει κάθε τιμή του διαστήματος $(0,+\infty)$

Ευπρόσδεκτη κάθε συμβολή για την επαλήθευσή του , ή για την διάψευσή του με αντιπαράδειγμα.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων , Γιώργος.

#2

Γιώργο ας περιορίσουμε κατ' αρχήν το θέμα σε συνεχή 2-προς-1 συνάρτηση

από το

στο

για την οποία υπάρχει σημείο μεγίστου (p, m).

Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε τις δύο συνεχείς αντίστροφες f_1, f_2

από το

στα

και

αντίστοιχα, οπότε είναι συνεχής και η μέσω της $g(y)=\dfrac{f_2(y)-f_1(y)}{y}$ οριζόμενη συνάρτηση από το [0, m]

στο $[0, +\infty)$ για την οποία ισχύουν οι $g(0)=+\infty$ και g(m)=0,

λαμβάνει επομένως η

κάθε θετική τιμή.

Εφαρμογή των ανωτέρω στο παράδειγμα σου (με m=1, n=2, p=1

):

: δύο-αντίστροφες.png (58.63 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

#3

Ας δούμε και το γράφημα της

-- παρατηρώ τώρα ότι η ερώτηση του Γιώργου αφορούσε την $\dfrac{1}{g},$ το συμπέρασμα όμως είναι το ίδιο:

: διαφορά-δια-ύψους.png (27.62 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα!
Σ΄ ευχαριστώ πολύ Γιώργο για την ενασχόλησή σου με το παρόν θεμα και βεβαίως για τα σχετικά γραφήματα!

Οι λόγοι a/b

και

πράγματι , όταν ο ένας διατρέχει το $(0, +\infty)$ τότε και ο άλλος διατρέχει (με αντίθετη διαδρομή) το ίδιο σύνολο.

Μετά από σχετική μελέτη θέτω υπ΄ όψιν όλων την πρόταση που ακολουθεί.
Θεωρώ πως ο αρχικός ισχυρισμός αληθεύει στον ίδιο βαθμό με αυτήν:

ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω συνεχής συνάρτηση

με Π.Ο το [0,n]

και σύνολο τιμών το [0,m]

(*). Δίνονται f(0)=f(n)=0

. Τότε

Ι) Να δειχθεί ότι για κάθε $a \in (0,m)$ υπάρχουν $x_{1}< x_{2}$ τέτοια ώστε $f(x_{1})=f( x_{2})=a$

ΙΙ) Αν θέσουμε $x_{2}- x_{1}=b$ , να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{b}{a}$ (καθώς το

διατρέχει το (0, m)

), μπορεί να πάρει κάθε θετική τιμή.

(*) : Υ.Γ Θεωρώντας ότι ισχύει 0<f(x)<m

για κάθε $x \in (0,p) kai x \in(p,n)$ όπου

η θέση μεγίστου της

Σε εύλογο χρονικό διάστημα θα υποβάλω προσέγγιση ( θεωρώντας την ως απόδειξη) της ως άνω πρότασης.

Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα ,καλή Κυριακή σε όλους !
Θέτω υπό τον έλεγχο όλων προσέγγιση για την απόδειξη της ως άνω πρότασης

Η

ως συνεχής σε κλειστό έχει μέγιστο το f(p)=m , 0<p<n

I) Για κάθε $a \in (0, m)$ από Θ.Ε.Τ υπάρχουν $x _{1}\in (0,p)$ και $x _{2}\in (p, n)$
Ώστε $f(x_{1}) = f(x_{2}) = a$ , με $x_{1}<x_{2}$

ΙΙ) Έστω οποιοσδήποτε αριθμός l>0.

Θέλουμε

δηλ. $\boxed {(x_{2}-x_{1})/f(x_{1}) =l \Leftrightarrow x _{2}=lf(x_{1})+x_{1}}$ και $f(x_{2})=f(x_{1})$ ή $f(lf(x_{1})+x_{1}) -f(x_{1})=0.$

Θεωρούμε λοιπόν την συνάρτηση

, επέκταση της

, με $k(x)=f(x), x \in [0,n)$ και $k(x)=0, x \in[n,+\infty)$

κι΄ έπειτα την συνάρτηση

με $g(x)=k(l \cdot f(x)+x)-f(x)$

κι΄ ακόμη την

με $j(x)= l \cdot f(x)+x – p , x \in[0,p]$

Όλες οι συναρτήσεις είναι συνεχείς. Έχουμε j(0)=-p <0

και

συνεπώς από θ. Bolzano υπάρχει $t \in(0,p)$ ώστε j(t)=0

δηλ. $\boxed{ l\cdot f(t)+t =p}$ .

Τότε g(t)=k(p)-f(t)=f(p)-f(t)=m-f(t) >0

, ενώ

, με περιπτώσεις:

Αν $lm+p \geq n$ τότε g(p)=-m<0

, ενώ αν

πάλι

.

Για την συνεχή λοιπόν

στο

από θ. Bolzano υπάρχει $x_{1} \in (t,p)$ τέτοιο ώστε $g(x_{1})=0\Leftrightarrow k(l \cdot f(x_{1})+x_{1})=f(x_{1}) >0$

οπότε $x_{2}= l \cdot f(x_{1})+x_{1} <n$ και $f(x_{2})=f(x_{1})$ που θέλαμε να ισχύουν!

Ευχαριστώ και για την ..υπομονή σας , Γιώργος.

Έλεγχος ισχυρισμού

Έλεγχος ισχυρισμού

Re: Έλεγχος ισχυρισμού

Re: Έλεγχος ισχυρισμού

Re: Έλεγχος ισχυρισμού

Re: Έλεγχος ισχυρισμού

Μέλη σε σύνδεση