Ένα όμορφο σχήμα...

#1

Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος $\displaystyle{C}$ έχει ακτίνα $\displaystyle{R}$ και οι τρείς ίσοι κύκλοι $\displaystyle{C_1,C_2,C_3}$ οι οποίοι

εφάπτονται εξωτερικά μεταξύτων και εσωτερικά του αρχικού $\displaystyle{C}$ έχουν ακτίνα $\displaystyle{r}$ . Να βρεθεί η ακτίνα

$\displaystyle{r}$ συναρτήσει της $\displaystyle{R}$ και στη συνέχεια να κατασκευαστεί το σχήμα αυτό.

: Τρείς ίσοι κύκλοι 1.png (45.85 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

#2

: Όμορφο.png (43.59 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

.
Τα κέντρα K,L,M

των ζητούμενων κύκλων σχηματίχουν ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

. Eπίσης είναι OK= R-r

λόγω της επαφής των κύκλων.

Έπεται από το ισόπλευρο τρίγωνο ότι $r=(R-r)\sin 60= (R-r)\dfrac {\sqrt 3}{2}$ . Λύνοντας $\boxed { r= (2\sqrt 3 -3)R }$ .

Η κατασκευή τώρα είναι άμεση αρχίζοντας από το γεγονός ότι $OK= R-r= (4-2\sqrt 3)R$ .

#3

Ένα επιπλέον ερώτημα:

: Ένα όμορφο σχήμα.png (14.47 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές

Στο σχήμα έχω απομονώσει τους κύκλους (C_2), (C),

από την αρχική άσκηση, και από τυχόν

σημείο

του

έχω φέρει το εφαπτόμενο τμήμα

του κύκλου (C_2).

Να βρείτε το λόγο $\dfrac{SA}{SD}.$

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 22, 2026 2:18 pm
Ένα επιπλέον ερώτημα:

Στο σχήμα έχω απομονώσει τους κύκλους από την αρχική άσκηση, και από τυχόν

σημείο του έχω φέρει το εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου Να βρείτε το λόγο $\dfrac{SA}{SD}.$

Καλησπέρα....

Γιώργο να είσαι καλά... Ωραία η παρατήρησή σου!

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Τρείς κύκλοι 2.png (39.62 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

Είναι:

$\displaystyle{\frac{(SA)^2}{(SD)^2}=\frac{(SP)(SD)}{(SD)^2}=\frac{(SP)}{(SD)}=1-\frac{(DP)}{(DS)} \ \ (1) }$

Όμως επειδή προφανώς είναι $\displaystyle{KP//OS}$

από την (1) θα είναι:

$\displaystyle{\frac{(DP)}{(DS)}=\frac{r}{R} \ \ (2) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{(SA)}{(SD)}=\sqrt{1-\frac{r}{R}}=ct }$

Κώστας Δόρτσιος

#5

KDORTSI έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 22, 2026 6:29 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 22, 2026 2:18 pm
Ένα επιπλέον ερώτημα:

Στο σχήμα έχω απομονώσει τους κύκλους από την αρχική άσκηση, και από τυχόν

σημείο του έχω φέρει το εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου Να βρείτε το λόγο $\dfrac{SA}{SD}.$

Καλησπέρα....

Γιώργο να είσαι καλά... Ωραία η παρατήρησή σου!

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Τρείς κύκλοι 2.png

Είναι:

$\displaystyle{\frac{(SA)^2}{(SD)^2}=\frac{(SP)(SD)}{(SD)^2}=\frac{(SP)}{(SD)}=1-\frac{(DP)}{(DS)} \ \ (1) }$

Όμως επειδή προφανώς είναι $\displaystyle{KP//OS}$

από την (1) θα είναι:

$\displaystyle{\frac{(DP)}{(DS)}=\frac{r}{R} \ \ (2) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{(SA)}{(SD)}=\sqrt{1-\frac{r}{R}}=ct }$

Κώστας Δόρτσιος

Έτσι ακριβώς. Να 'σαι καλά Κώστα!

Ας το προχωρήσουμε όμως λίγο ακόμα. Ο Μιχάλης απέδειξε ότι $R-r=(4-2\sqrt 3)R.$

Άρα, $\displaystyle{\frac{(SA)}{(SD)}=\sqrt{4-2\sqrt 3}=\sqrt 3-1 }.$

#6

Καλημέρα και καλή Σαρακοστή....

Αναρτώ κι ένα δυναμικό σχήμα για να δικαιολογήσω τον τίτλο:

"Ένα όμορφο σχήμα..."

της αρχικής μου ανάρτησης.

: Τρείς κύκλοι ίσοι 4.png (53.92 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Το δυναμικό σχήμα αυτής της εικόνας μπορείτε να το δείτε στον

σύνδεσμο: https://www.geogebra.org/m/csqbz6hv

Κώστας Δόρτσιος

#7

Γενικεύω το ερώτημα και για περισσότερους από τρεις κύκλους ....

Η μέθοδος κατασκευής είναι ιδια με αυτή των τριών κύκλων, απλά γίνεται η χρήση

του τύπου:

$\displaystyle{r=\frac{Rsin\frac{\pi}{n}}{1+sin\frac{\pi}{n}},\ \ n\geq 2\ \ (1) }$

Για παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα έχουμε δεκατρείς κύκλους...

: Εφαπτόμενοι κύκλοι 1.png (37.27 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές

Αναρτώ κι ένα ενδιαφέρον δυναμικό σχήμα που έγινε με τον τύπο (1) στο

οποίο, όπως αναφέρω και στις οδηγίες, μπορείτε να επιλέξετε μέχρι και είκοσι κύκλους!!

https://www.geogebra.org/m/q7qyvaab

Σημείωση:

Ο τύπος (1) εύκολα δείχνεται, όπως και στην περίπτωση των τριών κύκλων(μέθοδος του Μιχάλη...)

Κώστας Δόρτσιος

Ένα όμορφο σχήμα...

Ένα όμορφο σχήμα...

Re: Ένα όμορφο σχήμα...

Re: Ένα όμορφο σχήμα...

Re: Ένα όμορφο σχήμα...

Re: Ένα όμορφο σχήμα...

Re: Ένα όμορφο σχήμα...

Re: Ένα όμορφο σχήμα...

Μέλη σε σύνδεση