Ύψος διάμεσος

∫ot.T. · #1

Έστω τρίγωνο ABC

με ορθόκεντρο

,

το μέσο της

και

το δεύτερο σημείο τομής του

με τον περιγεγραμμένο κύκλο. Επίσης

η δεύτερη τομή της

με τον περιγεγραμμένο, U,V

τα μέσα των HE,ME

αντίστοιχα και

η προβολή του

στην

. Αν η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

να δείξετε ότι το

διχοτομεί την

.

#2

$\bullet$ Έστω το σημείο $Z\equiv HM\cap EP.$

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1, έχουμε $EP=PZ \ \ ,(1)$

Από (1)

προκύπτει ότι η ευθεία

περνάει από το σημείο

λόγω

και

Η δια τού σημείου

κάθετη ευθεία επί την

είναι επίσης κάθετη και επί την

λόγω $UV\parallel HM.$

: Ύψος, Διάμεσος.; f=181 t=78942.PNG (19.08 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

$\bullet$ Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2 τώρα, συμπεραίνεται ότι το τμήμα PQ,

όπου $Q\in AB$ ώστε να είναι $PQ\perp HM,$ διχοτομείται από την ευθεία

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω

το ορθόκεντρό του και

το μέσον της πλευράς του BC.

Η ευθεία

τέμνει τον περικύκλο (O)

στο σημείο έστω

και έστω το σημείο $E\equiv (O)\cap DM.$ Αποδείξτε ότι EP=PZ,

όπου $Z\equiv HM\cap EP$ και

η προβολή του σημείου

επί της

ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω

το ορθόκεντρό του και

το μέσον της πλευράς του BC.

Η δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την HM,

τέμνει την

στο σημείο έστω

και την

στο σημείο έστω

αποδείξτε ότι BN=NK.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου για το Λήμμα 1 και το Λήμμα 2.

#3

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το ορθόκεντρό του και το μέσον της πλευράς του Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την τέμνει την στο σημείο έστω και την στο σημείο έστω αποδείξτε ότι

$\bullet$ Έστω το σημείο $N\equiv AH\cap BK.$

: Ύψος, Διάμεσος - Απόδειξη του Λήμματος 2.; f=181 t=78942 (b).PNG (15.2 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές

Από $HN\perp BM$ και $BN\perp HM$ έχουμε ότι το σημείο

ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle HBM$ και επομένως ισχύει $MN\perp BH \ \ ,(!)$

Από (1)

και $BH\perp AC\Rightarrow$ $MN\parallel AC \ \ ,(2)$

Από (2)

και

συμπεραίνεται ότι BN=NK

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι φανερό ότι κάθε τμήμα που έχει τα άκρα του επί των ευθειών AB, AC

και είναι κάθετο επί την

(όπως για παράδειγμα το τμήμα

της εκφώνησης στο #1), διχοτομείται από την ευθεία AH,

ως παράλληλο προς το τμήμα

και δεν μας χρειάζεται τίποτα περισσότερο για την απόδειξη του ζητούμενου του προβλήματος που έχει τεθεί.

Αφήνεται προς το παρόν ως άσκηση για όποιον ενδιαφέρεται, η απόδειξη για το μη χρειαζούμενο Λήμμα 1. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου εάν δεν απαντηθεί.

Dimessi · #4

: Προφανής διχοτόμηση.png (58.57 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

#5

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το ορθόκεντρό του και το μέσον της πλευράς του Η ευθεία τέμνει τον περικύκλο στο σημείο έστω και έστω το σημείο $E\equiv (O)\cap DM.$ Αποδείξτε ότι όπου $Z\equiv HM\cap EP$ και η προβολή του σημείου επί της

: Ύψος, Διάμεσος - Απόδειξη του Λήμματος 2.; f=181 t=78942 (a).PNG (18.66 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές

$\bullet$ Έστω το σημείο $F\equiv (O)\cap BH$ και έχουμε ότι το τετράπλευρο MHFE

είναι ισοσκελές τραπέζιο, από $EZ\parallel HF$ και $\angle BFE=180^{o}-\angle BDE$ και $\angle FHM=180^{o}-\angle BHM$ και $\angle BDE=\angle BHM.$

Συμπεραίνεται έτσι, ότι η AC,

μεσοκάθετη ευθεία του HE,

είναι επίσης μεσοκάθετη του

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Είναι προφανές ότι η δια του σημείου

παράλληλη ευθεία προς την HM,

περνάει από τα μέσα U, V

των

αντιστοίχως.

Κώστας Βήττας.

Ύψος διάμεσος

Ύψος διάμεσος

Re: Ύψος διάμεσος

Re: Ύψος διάμεσος

Re: Ύψος διάμεσος

Re: Ύψος διάμεσος

Μέλη σε σύνδεση