ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Dimessi · #21

Πρόβλημα 4 Μεγάλων
$P(x,0):f\left ( 1 \right )-f\left ( 0 \right )f\left ( x \right )=1\Rightarrow f\left ( 0 \right )=0\vee f\left ( x \right )=c\overset{\alpha \nu f\equiv c \Rightarrow \alpha \tau o\pi o P(x,y)}\Rightarrow f\left ( 0 \right )=0\wedge f\left ( 1 \right )=1.$
$P(1,y):f\left ( y+1 \right )=f\left ( y \right )+2y+1,\forall y\in \mathbb{R}\overset{P(x,y)}\Rightarrow f\left ( xy \right )+2xy+1-f\left ( x \right )f\left ( y \right )=2xy+1\Leftrightarrow$ $f\left ( xy \right )=f\left ( x \right )f\left ( y \right ),\forall x,y\in \mathbb{R}(1).$
$P(x,y+1):f\left ( xy+x+1 \right )-f\left ( x \right )f\left ( y+1 \right )=2xy+2x+1\overset{\left ( 1 \right )}\Leftrightarrow$ $f\left ( xy+x \right )+2xy+2x+1-f\left ( x \right )\left ( f\left ( y \right )+2y+1 \right )=2xy+2x+1\Leftrightarrow$ $f\left ( xy+x \right )\overset{(1)}=f\left ( xy \right )+f\left ( x \right )\left ( 2y+1 \right ),\forall x,y\in \mathbb{R}\left ( 2 \right ).$
$\displaystyle \forall t\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R^{\ast }},y=\frac{t}{x}\overset{(2)}\Rightarrow f\left ( t+x \right )=f\left ( t \right )+f\left ( x \right )\left ( \frac{2t}{x}+1 \right )\overset{t=1}\Rightarrow$ $\displaystyle f\left ( x \right )+2x+1=1+f\left ( x \right )\left ( \frac{2}{x}+1 \right )\Leftrightarrow f\left ( x \right )=x^2,\forall x\in \mathbb{R^{\ast }}$ $\overset{f(0)=0}\Rightarrow \boxed{f\left ( x \right )=x^2,\forall x \in \mathbb{R}}.$

miliotis ektoras · #22

πως σας φανηκαν τα θεματα λυκειου?θεωρω λιγο ευκολοτερα απο τις αλλες χρονιες
*θετικο πιστευω που μπηκε συναρτησιακη ξανα μιας και ειναι δημοφιλης στους διεθνεις

Fotis34 · #23

Kon21 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 4:50 pm
Καλησπέρα στο ,
εγώ έγραψε με τα θέματα των μικρών και έλυσα το 1ο και το 3ο σωστά (πιστεύω), ενώ στη γεωμετρία έγραψα κάποιες σχέσεις χωρίς να καταλήξω κάπου. Το 4 προσπάθησα να το λύσω και έφτασα σε ένα αποτέλεσμα (2304), αν και δεν ξέρω πόσο σωστό είναι. Μπορεί κάποιος να ανεβάσει τη λύση του;

Φιλικά, Κωνσταντίνος

Στο θέμα 3, βρήκες $\displaystyle{v=274 , 466 , 1234 , 11026}$ ;

#24

Για το τέταρτο των μεγάλων:

Έχουμε τη συναρτησιακή σχέση $f(xy+1)-f(x)f(y)=2xy+1, \ \ (1)$

Για y=0

παίρνουμε $f(1)-f(x)f(0)= 1 \ \ (2)$
Για x=y=0

παίρνουμε

και αντικαθιστώντας στην (2)

παίρνουμε: f(0)(f(0)-f(x))=0

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Αν $f(0)\neq 0$ τότε θα παίρναμε f(x)=f(0)

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και αντικαθιστώντας στην (1)

θα είχαμε

που είναι αδύνατο καθώς το πρώτο μέλος είναι σταθερό ενώ το δεύτερο μεταβλητό και εξαρτώμενο από τα x,y

.

Άρα

και αντικαθιστώντας στην (2)

παίρνουμε

.

Θέτω στην (1)

και παίρνω f(x+1)-f(x)=2x+1

και εδώ είναι το σημείο που "υποψιαζόμαστε" ότι f(x)=x^2

και γι' αυτό γράφω την τελευταία σχέση ως:

$f(x+1)-(x+1)^2=f(x)-x^2, \ \ (3)$

και θέτοντας g(x)=f(x)-x^2

η προηγούμενη σχέση γράφεται $g(x+1)=g(x) \ \ (4)$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ με g(0)=0

και

.

Χρησιμοποιώντας ότι f(x)=g(x)+x^2

, η αρχική γίνεται g(xy+1)=g(x)g(y)+x^2g(y)+y^2g(x)

, για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ και χρησιμοποιώντας την (4)

παίρνουμε $g(xy)=g(x)g(y)+x^2g(y)+y^2g(x) \ \ (5)$ .

Θέτοντας στην (5)

όπου

το

παίρνουμε

οπότε χρησιμοποιώντας ξανά την (4)

παίρνουμε

και αφαιρώντας την τελευταία από την (5)

παίρνουμε $g(xy+y)-g(xy)=(2x+1)g(y) \ \ (6)$ .

Θέτοντας για ευκολία $xy=u, \ y=v$ και με την προϋπόθεση ότι $y\neq 0$ παίρνουμε x=u/y

και άρα η

μετασχηματίζεται στην:

$g(u+v)-g(u)=2\left(\dfrac{u}{v}+1\right)g(v) \Rightarrow g(u+v)=g(u)+g(v)+\dfrac{2u}{v}g(v)$

και εναλλάσσοντας στην τελευταία σχέση τα u,v

παίρνουμε $g(u+v)=g(v)+g(u)+\dfrac{2v}{u}g(u)$ απ΄ όπου συνδυάζοντας τις

τελευταίες τελικά παίρνουμε $\dfrac{2u}{v}g(v)=\dfrac{2v}{u}g(u) \Leftrightarrow \dfrac{g(v)}{v^2}=\dfrac{g(u)}{u^2}$ , για κάθε $u,v\in\mathbb{R^{\star}}$ που σημαίνει ότι η συνάρτηση $\dfrac{g(x)}{x^2}$ είναι σταθερή για κάθε $x\neq 0$ . Έστω λοιπόν ότι $g(x)=cx^2, x\neq 0$ .

Όμως g(1)=0

άρα

οπότε $g(x)=x^2, \ x\neq 0$ και σε συνδυασμό με το ότι g(0)=0

, παίρνουμε τελικά ότι g(x)=x^2

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ που δίνει f(x)=x^2

που επαληθεύει την (1)

.

Αλέξανδρος

timi2048 · #25

Καλησπέρα και μπράβο σε όλους που γράψανε!

Έγραψα στους μικρούς.
Έλυσα μόνο το τέταρτο θέμα και βρήκα 36... που τώρα ξέρω πως είναι σίγουρα λάθος...
Στο πρόβλημα 1 στο (α) βρήκα α=-x1-x2-2
Στη γεωμετρία έκανα απλώς το σχήμα και κάποιες παρατηρήσεις...
Στο πρόβλημα 3 βρήκα 2ν=α^2+β^2 κάτι τέτοιο...
Με έναν μήνα προετοιμασία για Αρχιμήδη, με αυτά που πρόλαβα να μάθω... πιστεύω πως ασχολήθηκα αρκετά με τα θέματα!
Καλά αποτελέσματα σε όλους!

Φιλικά,
timi

timi2048 · #26

Fotis34 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 5:00 pm

Kon21 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 4:50 pm
Καλησπέρα στο ,
εγώ έγραψε με τα θέματα των μικρών και έλυσα το 1ο και το 3ο σωστά (πιστεύω), ενώ στη γεωμετρία έγραψα κάποιες σχέσεις χωρίς να καταλήξω κάπου. Το 4 προσπάθησα να το λύσω και έφτασα σε ένα αποτέλεσμα (2304), αν και δεν ξέρω πόσο σωστό είναι. Μπορεί κάποιος να ανεβάσει τη λύση του;

Φιλικά, Κωνσταντίνος
Στο θέμα 3, βρήκες $\displaystyle{v=274 , 466 , 1234 , 11026}$ ;

δεν βρήκα αυτό αλλά... αυτό έχουν βρει οι περισσότεροι. Νομίζω είναι σωστό.

Fotis34 · #27

timi2048 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 5:13 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 5:00 pm

Kon21 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 4:50 pm
Καλησπέρα στο ,
εγώ έγραψε με τα θέματα των μικρών και έλυσα το 1ο και το 3ο σωστά (πιστεύω), ενώ στη γεωμετρία έγραψα κάποιες σχέσεις χωρίς να καταλήξω κάπου. Το 4 προσπάθησα να το λύσω και έφτασα σε ένα αποτέλεσμα (2304), αν και δεν ξέρω πόσο σωστό είναι. Μπορεί κάποιος να ανεβάσει τη λύση του;

Φιλικά, Κωνσταντίνος
Στο θέμα 3, βρήκες $\displaystyle{v=274 , 466 , 1234 , 11026}$ ;

δεν βρήκα αυτό αλλά... αυτό έχουν βρει οι περισσότεροι. Νομίζω είναι σωστό.

Τι εννοείς οι περισσότεροι;

Kon21 · #28

Ναι, αυτό βρήκα

NStavrakoudis · #29

Καλημέρα σε όλους! Παραθέτω μία λύση για τη γεωμετρία (2ο θέμα) των μικρών.

Αφού $OE=O\Delta$ , το $OE\Delta$ είναι ισοσκελές, άρα $\angle OE\Delta = \angle O\Delta E=x$ .
Θα αποδείξουμε ότι τα Ε, Ο, Ν είναι συνευθειακά. Πράγματι, αφού $AN // E\Delta$ , $\angle \Delta E = \angle \Delta AN = x$ ως εντός εναλλάξ. Ακόμα, OA=ON

, άρα $\angle \Delta AN = \angle OAN = \angle ONA$ (είναι ήδη γνωστό ότι τα Α, Ο, Δ είναι συνευθειακά αφού το Δ είναι στην προέκταση του ΑΟ). Άρα τα $OAN, OE \Delta$ είναι όμοια με δύο γωνίες ίσες, άρα έχουν και την τρίτη ίση. Άρα, οι $\angle AON$ , $\angle EO \Delta$ είναι ίσες, άρα αφού ένα ζεύγος πλευρών είναι αντικείμενες ημιευθείες τότε είναι κατακορυφήν και το άλλο ζεύγος πλευρών είναι επίσης αντικείμενες ημιευθείες.

Τώρα, αφού $\angle ZEO = 180^{\circ} - \angle ZEB - \angle EO \Delta = 90 ^{\circ} - x$ και $\angle AON = 180^{\circ} - 2x$ , και αφού η $\angle N \Gamma A$ βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη $\angle AON$ , $\angle N\Gamma A= \angle N\Gamma Z = \frac{\angle AON}{2} = 90^{\circ} - x$ , προκύπτει πως $\angle N\Gamma Z = \angle NEZ$ . Το ζητούμενο έπεται.

Δυστυχώς δεν μου λειτουργεί το GeoGebra applet. Το σχήμα μπορείτε να το βρείτε στο https://www.geogebra.org/calculator/z3amwtpx.

Καλή επιτυχία σε όλους όσους διαγωνίστηκαν!
Νέστωρ

Fotis34 · #30

Κατά δικιά μου άποψη, θεωρώ ότι τα θέματα τον γυμνασίων ήταν αρκετά απαιτητικά αλλά πολύ όμορφα.
Το πρόβλημα 3 μου έφαγε αρκετό χρόνο, αν και το έλυσα σωστά.

Fotis34 · #31

NStavrakoudis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 5:17 pm
Καλημέρα σε όλους! Παραθέτω μία λύση για τη γεωμετρία (2ο θέμα) των μικρών.

Αφού $OE=O\Delta$ , το $OE\Delta$ είναι ισοσκελές, άρα $\angle OE\Delta = \angle O\Delta E=x$ .
Θα αποδείξουμε ότι τα Ε, Ο, Ν είναι συνευθειακά. Πράγματι, αφού $AN // E\Delta$ , $\angle \Delta E = \angle \Delta AN = x$ ως εντός εναλλάξ. Ακόμα, , άρα $\angle \Delta AN = \angle OAN = \angle ONA$ (είναι ήδη γνωστό ότι τα Α, Ο, Δ είναι συνευθειακά αφού το Δ είναι στην προέκταση του ΑΟ). Άρα τα $OAN, OE \Delta$ είναι όμοια με δύο γωνίες ίσες, άρα έχουν και την τρίτη ίση. Άρα, οι $\angle AON$ , $\angle EO \Delta$ είναι ίσες, άρα αφού ένα ζεύγος πλευρών είναι αντικείμενες ημιευθείες τότε είναι κατακορυφήν και το άλλο ζεύγος πλευρών είναι επίσης αντικείμενες ημιευθείες.

Τώρα, αφού $\angle ZEO = 180^{\circ} - \angle ZEB - \angle EO \Delta = 90 ^{\circ} - x$ και $\angle AON = 180^{\circ} - 2x$ , και αφού η $\angle N \Gamma A$ βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη $\angle AON$ , $\angle N\Gamma A= \angle N\Gamma Z = \frac{\angle AON}{2} = 90^{\circ} - x$ , προκύπτει πως $\angle N\Gamma Z = \angle NEZ$ . Το ζητούμενο έπεται.

Δυστυχώς δεν μου λειτουργεί το GeoGebra applet. Το σχήμα μπορείτε να το βρείτε στο https://www.geogebra.org/calculator/z3amwtpx.

Καλή επιτυχία σε όλους όσους διαγωνίστηκαν!
Νέστωρ

Έγραψες αυτήν την λύση στο διαγωνισμό;

Hristaras · #32

λύση στο 4ο πρόβλημα των μικρών (αυτό που έκανα εγώ):

Στην αρχή υπολόγισα ότι υπάρχουν 4 τόποι για να τοποθετήσω το πρώτο μαύρο πιόνι στην πρώτη γραμμή και άλλοι 3 τόποι για το λευκό στην πρώτη γραμμή. Έπειτα μέτρισα με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω τα μαύρα και τα άσπρα πιόνια στην δεύτερη γραμμή. βρήκα ότι μπορώ με 7 τρόπους. Αυτό το έκανα απλός μετρώντας. Στην συνέχεια για κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις μέτρισα με πόσους τόπους μπορώ να χρωματίσω την τρίτη γραμμή. Βρήκα ότι υπάρχουν συνολικά 22 διαφορετικοί συνδυασμοί χρωματισμών στην δεύτερη και τρίτη γραμμή. Άρα αφού έχουμε 22 συνδυασμούς για κάθε έναν από τους 12 συνδυασμούς της Πρώτης γραμμής έχουμε συνολικά 12x22=264 συνδυασμούς. Για την Τετάρτη Γραμμή θα έχει μείνει μόνο ένας συνδυασμός άρα δεν χαράζεται να την μετρήσουμε.

Γιώργος Νικολής · #33

Γεια σας παιδιά, εγώ φέτος έδωσα τον Αρχιμήδη των Μεγάλων ως μαθητής Β' Λυκείου. Την γεωμετρία την έλυσα, αλλά χρησιμοποίησα στο τέλος της απόδειξης κάτι που δεν έιχα αποδείξει. Το δεύτερο (θεωρία αριθμών) το έλυσα με πλήρη απόδειξη ότι έχει μοναδική λύση. Το τρίτο (συνδιαστική) δεν το έλυσα, απλώς έκανα παρατηρήσεις και προσδιόρισα το διάστημα που ανήκει το k, χωρίς να βρω όμως ποιο k ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Τέλος στο τέταρτο (συναρτησιακή) έδειξα ότι deg f(x,y) = 2 και δεν πρόλαβα να βρω τον τύπο της.
Θα με βοηθούσε ιδιαίτερα να μου πείτε πώς τα πήγατε, τι δυσκολίες συναντήσατε και πόσο δύσκολα σας φάνηκαν τα θέματα.

Hristaras · #34

πως λύσατε το τρίτο θέμα των μικρών?

Fotis34 · #35

Hristaras έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 5:40 pm
πως λύσατε το τρίτο θέμα των μικρών?

Εγώ:

Έστω $\displaystyle{v-210=x²}$ και $\displaystyle{v+210=k²}$ με $\displaystyle{k,x}$ ακέραιοι. Η πρώτη σχέση δίνει:

$\displaystyle{v=x²+210}$ και η δεύτερη: $\displaystyle{v=k²-210}$ . Δηλαδή είναι:

$\displaystyle{x²+210=k²-210 \Leftrightarrow x²-k²+210+210=0 \Leftrightarrow k²-x²=420 \Leftrightarrow (k-x)(k+x)=420}$ . Μετά βρίσκεις όλους τους διαιρέτες του 420.

Kon21 · #36

Hristaras · #37

έφτασα και εγώ μέχρι αυτό το σημείο όμως δεν πρόλαβα να το συνεχίσω βρίσκοντας τους διαιρετές!

apostoloΚ · #38

Γεια σας! Σημερα έδωσα Αρχιμήδη μικρών και πιστευω τα έχω πάει καλα έλυσα το πρώτο και λογικα το τρίτο σωστά.Στην γεωμετρία και στην συνδυαστικη είχα σωστη μεθοδολογια και πιστευω οτι μπορω να παρω καποιες μονάδες. Αν προκριθώ και περάσω στον προκριματικό πως θα μάθω ποσο πήρα για να ξέρω για τον προκριματικό διότι στοχος μου ειναι να περάσω στην 6αδα για την βαλκανιάδα νέων;;

Γιώργος Νικολής · #39

Παρεμπιπτόντως στο δεύτερο πρόβλημα η λύση μου βρήκε δύο σελίδες και κάτι. Αρχικά έδειξα ότι η n=0 ικανοποιεί τη σχέση, έπειτα εξετάζοντας την περιοδικότητα των υπολοίπων των modulo και εξετάζοντας περιπτώσεις άρτιος-περιττός έδειξα ότι αν έχει άλλη λύση τότε n $\geq$ 7 και έπειτα έδειξα ότι για n $\geq$ 7 οδηγεί σε άτοπο, με τη βοήθεια μικρού θεωρήματος Φερμά.

Hristaras · #40

νομίζω ότι οι βαθμοί δημοσιεύονται μαζί με τα αποτελέσματα του προκριματικού. πάντος, καλή επιτυχία

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Μέλη σε σύνδεση