Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

kostas136 · #1

Γράφω μια ωραία και σχετικά απλή αλλά και διδακτική άσκηση για την Β Γυμνασίου. Νομίζω ότι αξίζει να την προτείνετε σε τυχόν μαθητές σας Β Γυμνασίου.

Έστω τετράγωνο ABCD πλευράς $\sqrt{2}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν E τυχαίο σημείο του τόξου AB, να αποδείξετε ότι $\angle AEB=3\angle BEC$ και να βρεθεί το εμβαδό του κύκλου.

theodora pap · #2

κατ' αρχήν καλημέρα!!

το τετράγωνο χωρίζει τον κύκλο σε 4 ίσα τόξα
και η γωνία ΑΕΒ βαίνει στα 3 από αυτά.
από την άλλη η γωνία BEC βαίνει σε 1 από αυτά.

άρα AEB= 3BEC!!!

( κέντρο του κύκλου υποτήθετε πωσ είναι το σημείο Ο)
μετά για να βρω το εμβαδό κάνω πιθαγώριο για να βρω την ακτίνα, οπότε:

BO= CO, αφού το τρίγωνο είναι ισοσκαλέσ.

BC2= 2 * BO2
2= 2 * BO2
BO2 = 1
BO= 1
άρα Εκύκλου= π* ρ2
Εκύκλου =3,14

( συγγνώμη για το τετράγωνα, αλλά δεν έχω ακόμα ανακαλύψει πωσ μπορώ να τα βάλω εδώ...

)

kostas136 · #3

Theodora, θαυμάσια. Θα ήθελα να προσθέσω 3 ακόμα ερωτήματα (ας απαντήσουν, νομίζω, μόνο μαθητές καλύτερα). Ποιά η διχοτόμος της $\angle AEC$ ; Ποιά η θέση του σημείου

ώστε το τρίγωνο DEC

να είναι ισοσκελές; Ποιό είναι τότε το εμβαδό του τριγώνου DEC

;

ΥΓ. Όταν θές να γράψεις σε μαθηματική γλώσσα, να κάνεις click στο κουτάκι tex (δεξιά του hide) και εντός του πλαισίου να αντιγράψεις με copy/paste αυτά που θα γράψεις χρησιμοποιώντας τον EqEditor (πατώντας EqEditor θα ανοίξει νέο παράθυρο όπου εκεί πανεύκολα θα επιλέγεις τα σύμβολα που χρειάζεσαι για το μήνυμά σου).

Eagle · #4

Καλησπέρα!

Για το πρώτο λίγο διαφορετικά(με μέτρα γωνιών):
Η εγγεγραμένη γωνία CEB ισούται με 90:2=45.Η γωνία AEC είναι ίση με 180:2=90.Όμως 90=2Χ45.
Για το εμβαδον την ιδια λύση έχω.
Για τα επόμενα 3 ερωτήματα:
Η διχοτόμος της AEC είναι η ευθεία ED διότι οι εγγεγραμένες γωνίες AED kai DEC βαίνουν σε ίσα τόξα.
Για να είναι τώρα το τρίγωνο DEC ισοσκελές το σημείο Ε πρέπει να είναι το σημείο τομής του τόξου ΑΒ και της μεσοκαθέτου του ΑΒ.
Για το εμβαδον δεν έχω λύση,πρέπει να είναι πολύ απλό και να μην το βρίσκω.Θα το ξανακοιτάξω

Ελπίζω να μη χάνω από κάπου.

Δημήτρης

parmenides51 · #5

επαναφορά για το τελευταίο ερώτημα με το εμβαδόν,
καλύτερα μόνο μαθητές

Υ.Γ. Πρέπει να τονιστεί οτι το σημείο Ε είναι εσωτερικό σημείο του τόξου ΑΒ, γιατί μπορώ να έχω και ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές τα Δ, Γ αν το σημείο Ε ταυτιστεί με το σημείο Α, Β αντίστοιχα (ή να ζητηθεί ισοσκελές τρίγωνο ΔΕΓ με κορυφή το Ε για να αποφευχθεί η παραπάνω περίπτωση)

parmenides51 · #6

για το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle DEC}$ στην περίπτωση που είναι ισοσκελές με βάση την $\displaystyle{DC}$ :

: Εγγεγραμμένες Γωνίες.png (44.18 KiB) Προβλήθηκε 2183 φορές

έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο του $\displaystyle{DC}$ και $\displaystyle{F,G}$ τα σημεία τομής της $\displaystyle{ME}$ με τις $\displaystyle{AB,DC}$ αντίστοιχα

η $\displaystyle{ME}$ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $\displaystyle{O}$ ώς μεσοκάθετος της χορδής του $\displaystyle{CD}$ , άρα η $\displaystyle{ME}$ είναι διάμετρος του κύκλου

τότε $\displaystyle{(DEC)=\frac{(EM)\cdot (DC)}{2}}$

$\displaystyle{EF=EO-FO=OG-OM=MG}$

διότι $\displaystyle{EO=OG=R}$ ως ακτίνες του κύκλου
και $\displaystyle{OF=OG}$ ως αποστήματα των ίσων χορδών $\displaystyle{AB,CD}$

το τετράπλευρο $\displaystyle{ADMF}$ είναι ορθογώνιο γιατί έχει όλες τις γωνίες του ορθές οπότε $\displaystyle{FM=AD}$

$\displaystyle{2R=EF+FM+MG=EF+AD+EF=2EF+AD \Rightarrow 2\cdot 1=2 EF+ \sqrt2 \Leftrightarrow 2 EF =2-\sqrt2 \Leftrightarrow EF=\frac{2-\sqrt2}{2}}$

τελικά $\displaystyle{(DEC)=\frac{(EM)\cdot (DC)}{2}=\frac{\sqrt2\cdot \displaystyle \frac{2-\sqrt2}{2}}{2}=\frac{\sqrt2 (2-\sqrt2)}{4}}$

Υ.Γ. ωραία άσκηση κι αυτή

Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

Re: Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

Re: Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

Re: Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

Re: Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

Re: Β Γυμνασίου-Εγγεγραμμένες Γωνίες

Μέλη σε σύνδεση