Τέλειοι κύβοι

Fotis34 · #1

Να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του θετικού ακέραιου

, για τις οποίες και οι δύο αριθμοί
$\displaystyle v - 494 \quad \text{και} \quad v + 494$
είναι τέλειοι κύβοι ακεραίων.

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές του γυμνασίου)

Fotis32 · #2

To φτάνω μέχρι ένα σημείο όμως μετά δεν μου βγαίνει κάτι.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Fotis32 · #3

Φυσικά μπορώ να πάρω όλους τους διαιρέτες όμως πρέπει να υπάρχει κάτι πιο απλό. Μπορείς να δώσεις κάποιο hint;

#4

Fotis34 έγραψε: Παρ Μαρ 20, 2026 5:32 pm Να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του θετικού ακέραιου , για τις οποίες και οι δύο αριθμοί
$\displaystyle v - 494 \quad \text{και} \quad v + 494$
είναι τέλειοι κύβοι ακεραίων.

Αφού υπάρχει προσπάθεια λύσης, προχωρώ σε πλήρη λύση.

Θέτουμε $v - 494 =a^3, \, v + 494=b^3$ . Οπότε $b^3-a^3 = 988=2^2\cdot 13\cdot 19$ .

Με χρήση της $b^2+ba+a^2= \dfrac {3}{4}(b+a)^2+ \dfrac {1}{4}(b-a)^2\ge \dfrac {1}{4}(b-a)^2$ έχουμε

$988 = b^3-a^3 = (b-a)(b^2+ba+a^2)\ge \dfrac {1}{4}(b-a)^3$ . Άρα $b-a\le \sqrt [3]{4\cdot 988} < 16$

Γράφουμε d=b-a

, οπότε έχουμε d<16

και

.

Ειδικά, κοιτώντας τους διαιρέτες του 988

και το φράγμα d<16

, το

μπορεί να έχει μόνο τις τιμές d=1, 2, 4, 13

Επίσης είναι

$b^2+ab +a^2- \dfrac {988}{d}=0$ , δηλαδή $(a+d)^2+a(a+d) +a^2- \dfrac {988}{d}=0$ ισοδύναμα

$3a^2+3ad+d^2- \dfrac {988}{d}=0$ (*)

Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα (τον ακέραιο) $\dfrac {12\cdot 988}{d}-3d^2$ , ο οποίος επιπρόσθετα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

Από τις τιμές d=1, 2, 4, 13

μόνο το

δίνει τέλειο τετράγωνο, και συγκεκριμένα 54^2

. Αμέσως λοιπόν, από την (*), είναι

a=7

και άρα

, με αντίστοιχο $\boxed {v=837}$ . Έλεγχος, 837-494=343=7^3

και

Τέλειοι κύβοι

Τέλειοι κύβοι

Re: Τέλειοι κύβοι

Re: Τέλειοι κύβοι

Re: Τέλειοι κύβοι

Μέλη σε σύνδεση