Χρυσή τομή και παραλληλία

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ!
Το παρόν θέμα είναι σε μερικούς από μας πολύ γνωστό έως τετριμμένο.
Θεωρώ όμως ότι αρκετοί μαθητές μας δεν το γνωρίζουν και ίσως το βρουν ενδιαφέρον αλλά και χρήσιμο..

: 27-3 Χρυσή τομή και παραλληλία .png (380.53 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος έχει AB=AC

και $\angle C=72^0$ . Το

είναι μέσον του

ενώ το

το έγκεντρο του $\triangle ABC$ .

Ι) Να δειχθεί ότι το

είναι χρυσή τομή για την διχοτόμο

αλλά και για το τμήμα

, όπου

το μέσον του

.

ΙΙ) Να εκφραστούν τα $cos\dfrac{\pi }{5}$ και $sin\dfrac {\pi }{10}$ με χρήση του χρυσού αριθμού $\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ και

ΙΙΙ) Να δειχθεί ότι ισχύει: $BN \parallel MD$

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 27, 2026 11:52 am
Χαιρετώ!
Το παρόν θέμα είναι σε μερικούς από μας πολύ γνωστό έως τετριμμένο.
Θεωρώ όμως ότι αρκετοί μαθητές μας δεν το γνωρίζουν και ίσως το βρουν ενδιαφέρον αλλά και χρήσιμο..

27-3 Χρυσή τομή και παραλληλία .png

Το τρίγωνο του σχήματος έχει και $\angle C=72^0$ . Το είναι μέσον του ενώ το το έγκεντρο του $\triangle ABC$ .

Ι) Να δειχθεί ότι το είναι χρυσή τομή για την διχοτόμο αλλά και για το τμήμα , όπου το μέσον του .

ΙΙ) Να εκφραστούν τα $cos\dfrac{\pi }{5}$ και $sin\dfrac {\pi }{10}$ με χρήση του χρυσού αριθμού $\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

ΙΙΙ) Να δειχθεί ότι ισχύει: $BN \parallel MD$

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Ι) Είναι $a=BC=BD=DA=\dfrac{b^2}{a+b},$ άρα $\displaystyle {b^2} - ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b}{a}=\Phi}$

Θεώρημα διχοτόμου στο ABD,

$\boxed{\frac{{BI}}{{ID}} = \frac{b}{a} = \Phi }$

$\displaystyle \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AB + AC}}{{BC}} = \frac{{2b}}{a} \Leftrightarrow \frac{{2NI}}{{IM}} = \frac{{2b}}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{NI}}{{IM}} = \Phi }$

: Χρυσή τομή.ΓΜ.png (22.43 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

II) Έχει αποδειχθεί εδώ(#6), ότι $\boxed{\cos \frac{\pi }{5} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} = \frac{\Phi }{2}}$ και $\displaystyle \sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4} = \frac{1}{{\sqrt 5 + 1}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{1}{{2\Phi }}}$

III) $\displaystyle \frac{{BI}}{{ID}} = \Phi = \frac{{NI}}{{IM}} \Leftrightarrow$ $\boxed{BN||MD}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Ευχαριστώ τον Γιώργο και στο παρόν θέμα!

Δυο λόγια μόνο για το $cos\dfrac{\pi }{5}$ . Όπως είδαμε είναι $\dfrac{BI}{ID} =\Phi$ τότε και $\dfrac{BC}{IB} =\dfrac{BD}{IB} =\Phi$ .

Η σχέση $\dfrac{BC}{IB} =\Phi$ προκύπτει , σύμφωνα και με το θέμα πέντε παρά κάτι (στο τέλος του)

αφού το τρίγωνο BIC

έχει γωνίες (36^o ,108^o,36^o )

. Έπεται $cos\dfrac{\pi }{5}=\dfrac{BC/2}{IB} =\dfrac{\Phi }{2}$ .

mathematica.gr

Χρυσή τομή και παραλληλία

Χρυσή τομή και παραλληλία

Re: Χρυσή τομή και παραλληλία

Re: Χρυσή τομή και παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση