Γενικό Θέμα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα σε όλους τους φίλους της μαθηματικής μας παρέας.
Οι εξετάσεις έφτασαν και θέλω να μοιραστούμε το τελευταίο θέμα που ανεβάζω για φέτος.
Μέχρι να δώσουν τα παιδιά εξετάσεις δεν θα δώσω άλλο θέμα προς αποσυμφόρηση της θεματολογίας.

Το θέμα αυτό το έφτιαξα και αποτελεί το 4ο ζήτημα του τελευταίου διαγωνίσματος που θα γράψουν κάποιοι μαθητές μου με δική τους απαίτηση.
Το έκτισα πάνω σε μια συναρτησιακή σχέση και προσπάθησα να περιέχει πολλά διαφορετικά ερωτήματα.
Ας το δούμε λοιπόν και αν υπάρχει κάποιο λάθος ή παράλειψη ζητώ προκαταβολικά συγνώμη.

Να είστε όλοι καλά,
καλή δύναμη
Θωμάς

gemar99 · #2

Μια παρατήρηση. Η ασύμπτωτη της g sto +00, μήπως συνεπάγεται και την ασύμπτωτη της f?

#3

Μήπως χρειάζεται να δοθεί ότι $\displaystyle{f(0)=g(0)}$ , ή δεν το βλέπω εγώ πως βγαίνει;

Ένυγουέι.

Για $\displaystyle{y=0}$ στη συναρτησιακή παίρνουμε $\displaystyle{f{'}(x)-g{'}(x)=1}$ άρα $\displaystyle{f(x)-g(x)-x=c}$ και αν δείξουμε ότι $\displaystyle{f(0)=g(0)}$ παίρνουμε το ζητούμενο.
Για το 2) κάνουμε χρήση του ότι $\displaystyle{f{'}(\lambda)-g{'}(\lambda)=1}$ και $\displaystyle{f(\lambda)-g(\lambda)=\lambda}$ .
Για το 3) είναι $\displaystyle{\frac{g^{2}-4}{f(x)-x+2}=\frac{(f(x)-x-2)f(x)-x+2)}{f(x)-x+2}\to-4}$ από την ασύμπτωτη της $\displaystyle{C_{f}}$ .
Για το 4) Rolle και άτοπο από την $\displaystyle{f(x)\neq1}$
Για το 5) $\displaystyle{g{'}(x)=f{'}(x)-1\neq0}$ άρα η $\displaystyle{g{'}}$ δια-τυρί πρόσημο άρα η $\displaystyle{g}$ γνησίως μονότονη

Για το 6) Fermat στη διαφορά. Το 6) πιστεύω ότι ίσως μπερδέψει αφού η $\displaystyle{g{'}}$ δε μηδενίζεται, αν και όπως διατυπώνεται δεν υπάρχει πρόβλημα...

coheNakatos · #4

Και εγω αυτη την απορια ειχα Τα 2,3 ερωτηματα δεν ερχεται σε αντιθεση με το τελευταιο ? (Το οτι c=0 πρεπει να βγαινει απο τα ορια στο απειρο )

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Μήπως χρειάζεται να δοθεί ότι $\displaystyle{f(0)=g(0)}$ , ή δεν το βλέπω εγώ πως βγαίνει; Ένυγουέι.

Για $\displaystyle{y=0}$ στη συναρτησιακή παίρνουμε $\displaystyle{f{'}(x)-g{'}(x)=1}$ άρα $\displaystyle{f(x)-g(x)-x=c}$ και αν δείξουμε ότι $\displaystyle{f(0)=g(0)}$ παίρνουμε το ζητούμενο.
Για το 2) κάνουμε χρήση του ότι $\displaystyle{f{'}(\lambda)-g{'}(\lambda)=1}$ και $\displaystyle{f(\lambda)-g(\lambda)=\lambda}$ .
Για το 3) είναι $\displaystyle{\frac{g^{2}-4}{f(x)-x+2}=\frac{(f(x)-x-2)f(x)-x+2)}{f(x)-x+2}\to-4}$ από την ασύμπτωτη της $\displaystyle{C_{f}}$ .
Για το 4) Rolle και άτοπο από την $\displaystyle{f(x)\neq1}$
Για το 5) $\displaystyle{g{'}(x)=f{'}(x)-1\neq0}$ άρα η $\displaystyle{g{'}}$ δια-τυρί πρόσημο άρα η $\displaystyle{g}$ γνησίως μονότονη

Για το 6) Fermat στη διαφορά. Το 6) πιστεύω ότι ίσως μπερδέψει αφού η $\displaystyle{g{'}}$ δε μηδενίζεται, αν και όπως διατυπώνεται δεν υπάρχει πρόβλημα...

Καλησπέρα Αναστάση,
Αν προσέξεις δίνεται ότι δυο συναρτήσεις είναι δυο φορές παραγωγίσιμες, οπότε παραγωγίζοντας ακόμα μια φορά,
έχουμε:
$\displaystyle{f''(x) = g''(x)}$
οπότε $\displaystyle{f'(x) = g'(x) + c}$ και επειδή $\displaystyle{f'(0) = g'(0) + 1}$ έχουμε c=1, άρα $\displaystyle{f'(x) = g'(x) + 1}$ , οπότε
$\displaystyle{f(x) = g(x) + x + {c_1}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{f(x) - x = g(x) + {c_1} \Rightarrow }$ $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } \left( {f(x) - x} \right) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } \left( {g(x) + {c_1}} \right) \Rightarrow - 2 = - 2 + {c_1} \Rightarrow {c_1} = 0}$ , άρα
$\displaystyle{f(x) = g(x) + x}$ , οπότε ένα καλό ερώτημα που βγαίνει ακόμα είαν ότι f(0)=g(0).

Ευχαριστώ για τη ενασχόληση,
Θωμάς

Γενικό Θέμα

Γενικό Θέμα

Re: Γενικό Θέμα

Re: Γενικό Θέμα

Re: Γενικό Θέμα

Re: Γενικό Θέμα

Μέλη σε σύνδεση