Τριπλάσια δυσκολία

KARKAR · #1

Βρείτε τους θετικούς αριθμούς x , y

, για τους οποίους ισχύει :

$x+\dfrac{1}{x}=y$ και : $x^3+\dfrac{1}{x^3}=3y$

#2

Καλημέρα σε όλους.

Για x, y>0

:

$\displaystyle {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} - 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \pm \sqrt 3$

Οπότε, $\displaystyle x = \sqrt {2 + \sqrt 3 } \Rightarrow y = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 }$

και $\displaystyle x = \sqrt {2 - \sqrt 3 } \Rightarrow y = \sqrt {2 - \sqrt 3 } + \frac{1}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} = \sqrt {2 - \sqrt 3 } + \sqrt {2 + \sqrt 3 }$

edit: Με υπόδειξη του Θανάση, $y= \sqrt{6}$ . Δεν το είχα ψάξει, γιατί, όπως έχω ξαναπεί, δεν επιθυμώ να πολυταράζω τα αποτελέσματα που έχουν ρίζες. Έχω μια ευαισθησία, λόγω ονόματος.

Fotis34 · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 12:09 pm
Βρείτε τους θετικούς αριθμούς , για τους οποίους ισχύει :

$x+\dfrac{1}{x}=y$ και : $x^3+\dfrac{1}{x^3}=3y$

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $\displaystyle{a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)}$ :

$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)$

Άρα:
$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=y^3-3y$

Από τη δεύτερη εξίσωση:
$\displaystyle y^3-3y=3y$

$\displaystyle y^3-6y=0$

$\displaystyle y(y^2-6)=0$

Επειδή $\displaystyle{y>0}$ , παίρνουμε:

$\displaystyle y=\sqrt{6}$

Τώρα:
$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{6}$

Πολλαπλασιάζοντας με $\displaystyle{x}$ :
$\displaystyle x^2-\sqrt{6}x+1=0$

Εφαρμόζοντας τον τύπο της διακρίνουσας,:
$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{6-4}}{2} =\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$

Άρα, έχουμε τις λύσεις:
$\displaystyle y=\sqrt{6}$
$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \quad , \quad x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ .

KARKAR · #4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 12:33 pm

Δεν το είχα ψάξει, γιατί, όπως έχω ξαναπεί, δεν επιθυμώ να πολυταράζω τα αποτελέσματα που έχουν ρίζες.

Έχω μια ευαισθησία, λόγω ονόματος.

Φαντάζομαι ότι στο παραπάνω εμπίπτει και η μη μετατροπή του $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ σε : $\dfrac{{\sqrt6}+\sqrt{2}}{2}$ .

Για να είμαι ειλικρινής δεν πολυκαταλαβαίνω γιατί οι Γιώργηδες έχουν ευαισθησία σε θέματα μετατροπής ριζών .

#5

Θανάση όχι οι Γιώργηδες. Οι Ριζαίοι έχουν θέμα με τις Ρίζες....

Τριπλάσια δυσκολία

Τριπλάσια δυσκολία

Re: Τριπλάσια δυσκολία

Re: Τριπλάσια δυσκολία

Re: Τριπλάσια δυσκολία

Re: Τριπλάσια δυσκολία

Μέλη σε σύνδεση