Ολίγον άρρητες

KARKAR · #1

Βρείτε τιμή του φυσικού αριθμού

, για την οποία η εξίσωση : x^4+2x^3+(3-k^2)x^2+2x+1=0

,

έχει τέσσερις πραγματικές λύσεις , στων οποίων την τελική μορφή δεν υπάρχουν κλάσματα και οι εμφανιζόμενες

ρίζες , είναι ρίζες μονοψήφιων φυσικών .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 07, 2026 9:10 am Βρείτε τιμή του φυσικού αριθμού , για την οποία η εξίσωση : ,

έχει τέσσερις πραγματικές λύσεις , στων οποίων την τελική μορφή δεν υπάρχουν κλάσματα και οι εμφανιζόμενες

ρίζες , είναι ρίζες μονοψήφιων φυσικών .

και οι ρίζες είναι το

διπλή ρίζα και $-2-\sqrt 3, -2+\sqrt 3.$

Το σκεπτικό είναι ότι οι ρίζες έχουν γινόμενο

και άθροισμα -2,

κ.λπ. Μπορεί να υπάρχει και άλλη τιμή του

(δεν το έχω κοιτάξει καν).

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 07, 2026 9:10 am Βρείτε τιμή του φυσικού αριθμού , για την οποία η εξίσωση : ,

έχει τέσσερις πραγματικές λύσεις , στων οποίων την τελική μορφή δεν υπάρχουν κλάσματα και οι εμφανιζόμενες

ρίζες , είναι ρίζες μονοψήφιων φυσικών .

.
Αναγνωρίζουμε ότι x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)^2

, οπότε η δοθείσα γράφεται (x^2+x+1)^2-k^2x^2=0

, και άρα (διαφορά τετραγώνων)

$\displaystyle{(x^2+(1-k)x+1)(x^2+(1+k)x+1)=0}$

Η πρώτη έχει ρίζες $\dfrac {k-1}{2} \pm \dfrac {1}{2} \sqrt {(k-1)^2-4}$ Και η δεύτερη $-\dfrac {k+1}{2} \pm \dfrac {1}{2} \sqrt {(k+1)^2-4}$ .

Λόγω του όρου $\dfrac {k-1}{2}$ ή του $\dfrac {k+1}{2}$ έπεται ότι

περιττός. Μάλιστα πρέπει να είναι μικρός αφού θέλουμε τα $\sqrt {(k-1)^2-4}, \, \sqrt {(k+1)^2-4}$ να είναι μικρά.

Δοκιμάζουμε

- k=1

. Δίνει ρίζες μιγαδικές (απορρίπτεται)

- k=3

. Δίνει ρίζες $1 \pm 0$ και $-2 \pm \sqrt {3}$ (δεκτές αν θεωρήσουμε την διπλή ρίζα ως δύο ρίζες).

- k=5

. Δίνει ρίζες $2 \pm \sqrt 3$ και $-3 \pm \sqrt {8}$ (δεκτές)

Τα μεγαλύτερα

απορρίπτονται λόγω μεγέθους. Τελειώσαμε.

KARKAR · #4

Δεν διευκρίνισα ότι οι τέσσερις ρίζες πρέπει να είναι διαφορετικές

. Με αυτή την εκφώνηση απορρίπτεται

και το k=3

. Αλλά το k=17

γιατί να απορριφθεί ;

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 07, 2026 11:47 am Αλλά το γιατί να απορριφθεί ;

Μάλλον ρητορικό το ερώτημα: Απορρίπτεται γιατί η άσκηση ζητά οι ρίζες να είναι ρίζες μονοψήφιων φυσικών (και το χρησιμοποίησα στην λύση μου, στο σημείο που λέω ότι απορρίπτουμε λόγω μεγέθους τους περιττούς k>5

). Το

δίνει $\dfrac {1}{2} \sqrt {(k+1)^2-4} = \sqrt {80}$ .

KARKAR · #6

Μιχάλη , μάλλον δεν πρόσεξες την εκφώνηση : Η τελική μορφή του $\sqrt{80}$ είναι : $4\sqrt{5}$ ...

#7

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 07, 2026 12:51 pm Μιχάλη , μάλλον δεν πρόσεξες την εκφώνηση : Η τελική μορφή του $\sqrt{80}$ είναι : $4\sqrt{5}$ ...

Την μορφή, όπως η $4\sqrt{5}$ που λες, την έχω υπόψη αλλά την απέρριψα για δύο λόγους. α) Δεν είναι ρίζα φυσικού αλλά γινόμενο ρίζας φυσικού επί άλλον φυσικό. β) Αν δεχθούμε την γραφή αυτή, δηλαδή την μορφή $m\sqrt n$ , τότε έχουμε άπειρο πλήθος υποψήφιων ριζών, και θα πρέπει να τις αποκλείσουμε.

Οπότε σωστά ερμήνευσα την άσκηση. Τα υπόλοιπα είναι κουβέντα άνευ ουσίας δεδομένου ότι η εκφώνηση λέει ρητά "οι εμφανιζόμενες ρίζες, είναι ρίζες μονοψήφιων φυσικών". Τελεία.

KARKAR · #8

Για

, οι τέσσερις ρίζες είναι οι : $-9-4\sqrt{5} , -9+4\sqrt{5} , 8-3\sqrt{7} , 8+3\sqrt{7}$ .

Θεωρώ ότι όλες ικανοποιούν τις απαιτήσεις της εκφώνησης αφού :

" στην τελική τους μορφή δεν περιέχουν κλάσματα και οι εμφανιζόμενες ρίζες , είναι ρίζες μονοψήφιων φυσικών " .

Μας κάνει και το : k=15

.

#9

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 07, 2026 3:23 pm Για , οι τέσσερις ρίζες είναι οι : $-9-4\sqrt{5} , -9+4\sqrt{5} , 8-3\sqrt{7} , 8+3\sqrt{7}$ .

Θεωρώ ότι όλες ικανοποιούν τις απαιτήσεις της εκφώνησης αφού :

" στην τελική τους μορφή δεν περιέχουν κλάσματα και οι εμφανιζόμενες ρίζες , είναι ρίζες μονοψήφιων φυσικών " .

Μας κάνει και το : .

Θανάση, ομολογώ ότι δεν κατανοώ γιατί επιμένεις. Τα $4\sqrt{5} , 3\sqrt{7}$ δεν είναι ρίζες μονοψήφιου, όσο και τα το τραβήξεις.

Άσκηση προς όλους: Γράψτε όλες τις ρίζες μονοψήφιου φυσικού αριθμού, μη τέλειου τετραγώνου.

Δική μου απάντηση: $\sqrt 2, \,\sqrt 3, \sqrt 5,\, \sqrt 6, \sqrt 7, \,\sqrt 8$

Άλλη ερώτηση: Βλέπεις σε αυτές τον $10000000000\sqrt 2$ .

Όχι.

KARKAR · #10

Μιχάλη , φοβάμαι ότι δεν κατανόησες την έκφραση "εμφανιζόμενη " : Στον αριθμό $7\sqrt{2}$

η εμφανιζόμενη ρίζα , είναι αυτή που φαίνεται , δηλαδή η $\sqrt{2}$ , όχι η $\sqrt{98}$ .

#11

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 07, 2026 5:01 pm Μιχάλη , φοβάμαι ότι δεν κατανόησες την έκφραση "εμφανιζόμενη " : Στον αριθμό $7\sqrt{2}$

η εμφανιζόμενη ρίζα , είναι αυτή που φαίνεται , δηλαδή η $\sqrt{2}$ , όχι η $\sqrt{98}$ .

Αν δεν κατανόησα τότε φταίει η διατύπωση. Για μένα είναι ξεκάθαρο ότι εννοούμε την ρίζα πριν την επεξεραστούμε. Δηλαδή αν βρούμε $\sqrt {20}$ τότε ΑΥΤΗ είναι η εμφανιζόμενη ρίζα. Όχι η ίση της $2\sqrt 5$ για να ισχυριστούμε κατόπιν εορτής ότι κάνουμε τα στραβά μάτια στο

και κοιτάμε μόνο το $\sqrt 5$ .

Όπως και να είναι, σταματώ εδώ γιατί ήδη έχω αφιερώσει δυσανάλογο χρόνο σε ανούσια συζήτηση. Ξεφύγαμε σε ήσσονος σημασίας σχόλια. Άλλωστε αυτό που μετράει, είναι η λύση. Όλα τα άλλα είναι εκείνο που πολύ εύστοχα ονομάζεται semantics. Προτιμώ τα Μαθηματικά. Δυστυχώς τα παραπάνω καταστρέφουν μία λύση εστιάζοντας την συζήτηση στο αν ο $\sqrt {20}$ είναι ή δεν είναι "εμφανιζόμενη ρίζα μονοψήφιου".

KARKAR · #12

Άσχετα από την ασήμαντη παραπάνω διαφορά , η λύση του Μιχάλη είναι πανέμορφη . Ας φανεί πως κατέληξα

στον συντελεστή 3-k^2

για το

. Η εξίσωση είναι αντίστροφη . Επειδή προφανώς $x \neq 0$ , γράφεται :

$x^2+\dfrac{1}{x^2}+2x+\dfrac{2}{x}+3-k^2=0$ , ισοδύναμα : $(x+\dfrac{1}{x})^2+2(x+\dfrac{1}{x})+1-k^2$ , η οποία έχει

διακρίνουσα : $\Delta=4-4(1-k^2)=4k^2$ , οπότε τελικά : $x+\dfrac{1}{x}=-1+k , or : x+\dfrac{1}{x}=-1-k$ ,

από την οποία εύκολα παίρνουμε τις λύσεις που βρίσκει ο Μιχάλης . Στην εκφώνηση ζητούσα μια τιμή του

.

Η απάντηση του Γιώργου είναι συνεπώς πλήρης . Η απάντηση του Μιχάλη θα έλεγα ότι είναι υπερπλήρης .

Η άσκηση μπήκε στον φάκελο των "Διασκεδαστικών " , ακριβώς γιατί με τον όρο "τελική μορφή των λύσεων"

με τα παραπάνω παραδείγματα οι απλοποιήσεις των ριζών , δίνουν αποτελέσματα όπου οι εμφανιζόμενες ρίζες

είναι ρίζες μονοψήφιων . Παραμένει ανοικτό το ερώτημα αν εκτός των : 5 , 15 , 17

, υπάρχει άλλο

που να οδηγεί σε ανάλογο αποτέλεσμα ... (το k=3

αποκλείστηκε στην αναμορφωμένη εκφώνηση

)

Ολίγον άρρητες

Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Re: Ολίγον άρρητες

Μέλη σε σύνδεση