Συνημίτονο 40

#1

: Συνημίτονο 40.png (9.76 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Με τη βοήθεια του τριγώνου που φαίνεται στο σχήμα, να βρείτε μία τριτοβάθμια εξίσωση

που να δίνει το $\cos 40^\circ$ και επιβεβαιώστε τον τύπο $\displaystyle \cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x.$

KARKAR · #2

: cos40.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

Λόγω της διπλάσιας γωνίας είναι : a^2=c^2+bc

. Στο σχήμα είναι όλα

εκφρασμένα συναρτήσει του

και του $x=\cos40$ . ( Είναι : $\tan40=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ ) .

Κάνοντας επίπονες πράξεις στην παραπάνω σχέση , καταλήγουμε στην εξίσωση :

8x^3-6x+1=0

, της οποίας η μία ρίζα ( η : $x\simeq 0.766$ ) , είναι το $\cos40$ ) .

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 18, 2026 10:54 am
Συνημίτονο 40.png
Με τη βοήθεια του τριγώνου που φαίνεται στο σχήμα, να βρείτε μία τριτοβάθμια εξίσωση

που να δίνει το $\cos 40^\circ$ και επιβεβαιώστε τον τύπο $\displaystyle \cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x.$

: συνημ 40.png (14.07 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

.
Από τον Νόμο των Ημιτόνων έχουμε $a=2R \sin 80=4R\sin 40\cos 40, \, b= 2R \sin 30=R$ και $c=2R\sin 50 =2R\cos 40$ .

Τώρα από τον Νόμο των Συνημιτόνων και με χρήση του $\cos 100=-\cos 80= -(2\cos ^240-1)$ έχουμε

$a^2= 16R^2\sin ^2 40\cos ^240= 4R^2 \cos ^240+R^2+2\cdot 2R \cos 40 \cdot R\cdot (2\cos ^240-1)$ .

Απλοποιούμε το R^2

και για τυπογραφική ευκολία γράφουμε $\cos 40=C$ . Η παραπάνω γίνεται

16(1-C^2)C^2=4C^2+1+4C(2C^2-1)

, ισοδύναμα 16C^4+8C^3-12C^2-4C+1=0

ή αλλιώς

. Άρα τελικά

$\boxed {8C^3-6C+1=0}$ , η ζητούμενη τριτοβάθμια.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα σε όλους!
Ας είναι cos40=k

.
Από τον νόμο ημιτόνων στο δοθέν τρίγωνο
έχουμε c/b=2k

και $a/b=4k \sqrt{1-k^2}$

Από το..σαν Πυθαγόρειο a^2=c^2+bc

διαιρώντας με b^2

, αντικαθιστώντας τους ως άνω λόγους
μετά από τις πράξεις παίρνουμε την εξίσωση 8k^3-6k+1=0

Φιλικά Γιώργος.

KARKAR · #5

Η : $4\cos^3(40)-3\cos(40)=\cos(3\cdot40)$ , γίνεται : $4x^3-3x=-\dfrac{1}{2}$ ,

που είναι η αποδειχθείσα , για : $x=\cos(40)$ .

Συνημίτονο 40

Συνημίτονο 40

Re: Συνημίτονο 40

Re: Συνημίτονο 40

Re: Συνημίτονο 40

Re: Συνημίτονο 40

Μέλη σε σύνδεση