Κανένα κοινό σημείο

KARKAR · #1

Βρείτε όλες τις ευθείες , οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία με την γραφική

παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 6:19 pm
Βρείτε όλες τις ευθείες , οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία με την γραφική

παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$ .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κανένα κοινό σημείο 1.png (94.19 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Στο σχήμα αυτό υπάρχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

$\displaystyle{f(x)=\frac{x}{x-1} \ \ (1) }$

η οποία είναι υπερβολή με ασύμπτωτες:

$\displaystyle{ e_1: x=1, \ \ e_2: y=1 \ \ (2) }$

Οι ασύμπτωτες αυτές τέμνοντσι στο σημείο $\displaystyle{(1,1)}$

Προφανώς οι ευθείες της κεντρικής δέσμης:

$\displaystyle{e_q: y=1+tan(q)(x-1) , \ \ \frac{\pi}{2} < q <\leq \pi \ \ (3) }$

δεν τέμνουν την υπερβολή κατά συνέπεια όλες οι ευθείς που

είναι παράλληλες με αυτές έως και τις ευθείες που είναι εφαπτόμενες στην υπερβολή

στα σημεία $\displaystyle{ S, S' }$ , χωρίς αυτές.

Αυτό φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα και καλύτερα στο κατωτέρω δυναμικό:

https://www.geogebra.org/m/pnvywykq

Τα σημεία επαφής $\displaystyle{S, S' }$ προσδιορίζονται κλασσικά και έχουν συντεταγμένες αντίστοιχα:

$\displaystyle{x=1-\sqrt{\frac{-1}{tanq}}, \ \ \ \ y=\frac{1-\sqrt{\frac{-1}{tanq}}}{-\sqrt{\frac{-1}{tanq}}} }$

και

$\displaystyle{x=1+\sqrt{\frac{-1}{tanq}}, \ \ \ \ y=\frac{1+\sqrt{\frac{-1}{tanq}}}{\sqrt{\frac{-1}{tanq}}} }$

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 6:19 pm
Βρείτε όλες τις ευθείες , οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία με την γραφική

παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$ .

Ισοδύναμα μπορούμε να βρούμε όλες τις ευθείες που τέμνουν την δοθείσα συνάρτηση (ορθογώνια υπερβολή). Είναι οι ευθείες y=ax+b

για τις οποίες η εξίσωση $ax+b=\dfrac{x}{x-1}$ έχει λύση, με τον περιορισμό $x\ne 1$ (η x=1

είναι βέβαια η κατακόρυφη ασύμπτωτη).

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ax^2+(-a+b-1)x-b=0

. Πρώτα απ' όλα παρατηρούμε ότι η x=1

δεν είναι λύση. Από εκεί και πέρα θέλουμε $D \ge 0$ , ισοδύναμα $(-a+b-1)^2 +4ab \ge 0$ . H σχέση αυτή περιγράφει όλες τις ζητούμενες, αλλά μπορούμε να βρούμε και χρήσιμες υποοικογένειες.

Για παράδειγμα

α) Aν a,b

ομόσημοι τότε ab>0

και άρα

, που σημαίνει ότι η y=ax+b

τέμνει την καμπύλη.

β) Αφού (-a+b-1)^2 +4ab = (a+b-1)^2+ 4a

σημαίνει ότι αν a>0

η

τέμνει την καμπύλη.

γ) Αφού (-a+b-1)^2 +4ab = (a+b+1)^2- 4b

σημαίνει ότι αν b<0

η

τέμνει την καμπύλη.

Κανένα κοινό σημείο

Κανένα κοινό σημείο

Re: Κανένα κοινό σημείο

Re: Κανένα κοινό σημείο

Μέλη σε σύνδεση