Διπλή συνευθειακότητα

[KARKAR]

Διπλή συνευθειακότητα.png (20.45 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Η μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Γράφουμε τον κύκλο , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και .

Δείξτε ότι τα σημεία : , καθώς και τα : , είναι συνευθειακά . Παρακαλώ , όχι παραπομπές !

[Mihalis_Lambrou]

Διπλή συνευθειακότητα.pngΗ μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Γράφουμε τον κύκλο , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και .

Δείξτε ότι τα σημεία : , καθώς και τα : , είναι συνευθειακά . Παρακαλώ , όχι παραπομπές !

Διπλή συν.png (27.51 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

.
Προεκτείνουμε την μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο .

Από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε την ισότητα των δύο σημειωμένων γωνιών . Από το εγγράψιμο (δύο απέναντι γωνίες ορθές) έχουμε την ισότητα των δύο σημειωμένων γωνιών . Από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε την ισότητα των δύο σημειωμένων γωνιών . Άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε . Άρα η είναι εφαπτομένη, όπως θέλαμε.

Προεκτείνουμε την μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο .

Από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε ότι η εξωτερική του γωνία είναι . Επίσης από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε ότι η εξωτερική του γωνία είναι και αυτή . Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, και άρα συμμετρικά ως προς την . Από την συμμετρία έχουμε ότι η είναι εφαπτομένη, όπως θέλαμε.

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Διπλή συνευθειακότητα.pngΗ μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Γράφουμε τον κύκλο , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και .

Δείξτε ότι τα σημεία : , καθώς και τα : , είναι συνευθειακά . Παρακαλώ , όχι παραπομπές !

Οι εφαπτόμενες του κύκλου τέμνονται στο και προφανώς και

συγκλίνουν στο

Άρα ορθόκεντρο του οπότε .Αλλά και άρα συνευθειακά

Προφανώς τα είναι ομοκυκλικά κι επειδή εγγράψιμμο και συνευθειακά θα

είναι συνευθειακά

διπλή συνευθειακότητα.png (44.16 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές