Διπλή συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Διπλή συνευθειακότητα.png (20.45 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές

Η μεσοκάθετος της υποτείνουσας

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο

. Γράφουμε τον κύκλο (P , PA)

, προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα

και

.

Δείξτε ότι τα σημεία : A , M , S

, καθώς και τα : C , P , T

, είναι συνευθειακά . Παρακαλώ , όχι παραπομπές !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 24, 2026 7:49 am
Διπλή συνευθειακότητα.pngΗ μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Γράφουμε τον κύκλο , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και .

Δείξτε ότι τα σημεία : , καθώς και τα : , είναι συνευθειακά . Παρακαλώ , όχι παραπομπές !

: Διπλή συν.png (27.51 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

.
Προεκτείνουμε την

μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο

.

Από το ισοσκελές τρίγωνο PCB

έχουμε την ισότητα των δύο σημειωμένων γωνιών $\theta$ . Από το εγγράψιμο APMC

(δύο απέναντι γωνίες ορθές) έχουμε την ισότητα των δύο σημειωμένων γωνιών $\theta$ . Από το ισοσκελές τρίγωνο PAS

έχουμε την ισότητα των δύο σημειωμένων γωνιών $\theta$ . Άρα το PMSB

είναι εγγράψιμο, οπότε $\widehat {PSB} = \widehat {PMB} =90$ . Άρα η

είναι εφαπτομένη, όπως θέλαμε.

Προεκτείνουμε την

μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο

.

Από το ισοσκελές τρίγωνο PCB

έχουμε ότι η εξωτερική του γωνία είναι $2\theta$ . Επίσης από το ισοσκελές τρίγωνο PAS

έχουμε ότι η εξωτερική του γωνία είναι και αυτή $2\theta$ . Άρα τα τρίγωνα PSU, PTU

είναι ίσα, και άρα συμμετρικά ως προς την

. Από την συμμετρία έχουμε ότι η

είναι εφαπτομένη, όπως θέλαμε.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 24, 2026 7:49 am
Διπλή συνευθειακότητα.pngΗ μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Γράφουμε τον κύκλο , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και .

Δείξτε ότι τα σημεία : , καθώς και τα : , είναι συνευθειακά . Παρακαλώ , όχι παραπομπές !

Οι εφαπτόμενες BT,CA

του κύκλου τέμνονται στο

και προφανώς BC//AT

και

$\dfrac{CM}{MB} = \dfrac{AN}{NT}=1 \Rightarrow CA,MN,BT$ συγκλίνουν στο

Άρα

ορθόκεντρο του $\triangle CHB$ οπότε $CP \bot HB$ .Αλλά και $PT \bot HB$ άρα C,P,T

συνευθειακά

Προφανώς τα B,S,M,P,T,

είναι ομοκυκλικά κι επειδή APMC

εγγράψιμμο και C,P,T

συνευθειακά θα

είναι $\angle M_{2} = \angle P_{2} = \angle P_{1} = \angle M_{1} \Rightarrow A,M,S$ συνευθειακά

: διπλή συνευθειακότητα.png (44.16 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές

Διπλή συνευθειακότητα

Διπλή συνευθειακότητα

Re: Διπλή συνευθειακότητα

Re: Διπλή συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση