Aκτίνα Περιγεγραμμένης Σφαίρας Τρισορθογώνιου Τετραέδρου

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σε τρισορθογώνιο τετράεδρο OABC

, με

κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας, δίνεται ότι OA=a, OB=b,OC=c

με

θετικούς αριθμούς.
Να υπολογιστεί από τα a,b,c

η ακτίνα

της περιγεγραμμένης σφαίρας του OABC.

Δεν υπάρχει πρόβλημα αν δοθεί λύση εκτός φακέλου...

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Κυρ Απρ 26, 2026 12:03 am Σε τρισορθογώνιο τετράεδρο , με κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας, δίνεται ότι
με θετικούς αριθμούς.
Να υπολογιστεί από τα η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του

Δεν υπάρχει πρόβλημα αν δοθεί λύση εκτός φακέλου...

.

: ακτ περιγ.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

.
Με τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων έχουμε συντεταγμένες $A(a,0,0), \, B(0,b,0), \, C(0,0,c)$ . Aν K(x,y,z)

το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας έχουμε R=KO=KA=KB=KC

που μεταφράζεται ως

R^2 = x^2+y^2+z^2 =(x-a)^2+y^2+z^2= x^2+(y-b)^2+z^2= x^2+y^2+(z-c)^2

H

γράφεται ισοδύναμα 0=-2ax+a^2

, από όπου $\boxed {x= \dfrac {a}{2} }$ . Όμοια $\boxed {y= \dfrac {b}{2} }$ και $\boxed {z= \dfrac {c}{2} }$ .

Άρα $R^2 = x^2+y^2+z^2 = \dfrac {a^2}{4} + \dfrac {b^2}{4} + \dfrac {c^2}{4}$ από όπου $\boxed {R=\dfrac {1}{2}\sqrt {a^2+b^2+c^2}}$

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Κυρ Απρ 26, 2026 12:03 am Σε τρισορθογώνιο τετράεδρο , με κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας, δίνεται ότι
με θετικούς αριθμούς.
Να υπολογιστεί από τα η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του

Δεν υπάρχει πρόβλημα αν δοθεί λύση εκτός φακέλου...

Έστω

το μέσο της ακμής

και

το συμμετρικό του

ως προς

Το

είναι ορθογώνιο. Επειδή οι ακμές

AB, OC

είναι ορθογώνιες και OC||BD,

θα είναι $AB\bot BD.$ Ομοίως $AC\bot CD.$ Άρα οι κορυφές O, B, C

βλέπουν

το τμήμα

υπό ορθή γωνία και κατά συνέπεια η σφαίρα διαμέτρου

είναι περιγεγραμμένη του τρισορθογώνιου τετραέδρου.

: Περιγεγραμμένη σφαίρα.png (16.27 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

Πυθαγόρειο στο OAD,

$\displaystyle A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} \Leftrightarrow 4{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Aκτίνα Περιγεγραμμένης Σφαίρας Τρισορθογώνιου Τετραέδρου

Aκτίνα Περιγεγραμμένης Σφαίρας Τρισορθογώνιου Τετραέδρου

Re: Aκτίνα Περιγεγραμμένης Σφαίρας Τρισορθογώνιου Τετραέδρου

Re: Aκτίνα Περιγεγραμμένης Σφαίρας Τρισορθογώνιου Τετραέδρου

Μέλη σε σύνδεση