S-καμπύλη

KARKAR · #1

: S-καμπύλη.png (17.68 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές

Ο κύκλος

τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία A , B

. Χορδή

του κύκλου κινείται , παραμένοντας

παράλληλη προς την

. Οι ημιευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

, του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 30, 2026 11:28 am
S-καμπύλη.pngΟ κύκλος τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία . Χορδή του κύκλου κινείται , παραμένοντας

παράλληλη προς την . Οι ημιευθείες και τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

.

: S καμπ.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές

.
Λίγο ευκολότερο ως προς τις πράξεις να κάνουμε μετατώπιση των αξόνων με την αλλαγή μεταβλητής X=x+2

. Τώρα η εξίσωση του κύκλου είναι η X^2+y^2=9

(ως προς τους νέους άξονες)

Είναι D(a,b), C(a,-b)

με

, οπότε οι CK,DB

είναι οι $y=\dfrac {-b}{a}X, \, y=\dfrac {-b}{3-a}(X-3)$ . Λύνοντας θα βρούμε το σημείο τομής τους

ικανοποιεί

$a=\dfrac {3X}{2X-3}, b = \dfrac {-3y} {2X-3}$ , οπότε από την a^2+b^2=9

θα βρούμε

(υπερβολή) ή αλλιώς, ως προς τους αρχικούς άξονες

$\boxed {x^2-\dfrac {y^2}{3}=1}$

Πρόκειται για άσκηση που υπάρχει κατά χιλιάδες σε όλα τα βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας, μόνο τα νούμερα αλλάζουν. Μάλλον χάνω την εκπαιδευτική της σκοπιμότητα, πάρα από επανάληψη της επανάληψης.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 30, 2026 11:28 am
Ο κύκλος τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία . Χορδή του κύκλου κινείται , παραμένοντας

παράλληλη προς την . Οι ημιευθείες και τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

Καλησπέρα....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: S - επιφάνεια 1.png (36.61 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Η εξίσωση του δοθέντος κύκλου γράφεται και με την εξής παραμετρική μορφή:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} x(t)=-2+3cost \\ y(t)=3sint \end{matrix} \right \}, \ \ \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2} \ \ (1) }$

Έστω ένα σημείο

$\displaystyle{C=(-2+3cost, 3sint), \ \ \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2} }$

Tότε το σημείο:

$\displaystyle{D=(-4+3cost, 3sint ) }$

είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{C}$ ως προς την $\displaystyle{S_1S_2}$ κι έτσι ορίστηκε η παράλληλη

χορδή ως προς τον άξονα των τετμημένων.

Εύκολα τώρα βρίσκονται οι ευθείες:

$\displaystyle{ (CK), e_1: y= \frac{sint}{cost}(x+2) \ \ (2) }$

$\displaystyle{ (DB), e_2: y=-\frac{sint}{1+cost}(x-1) \ \ (3) }$

Το σημείο τομής αυτών $\displaystyle{S}$ τότε θα είναι:

$\displaystyle{ S=(-\frac{2+cost}{1+2cost} ,\ \ \frac{3sint}{1+2cost}) \ \ (4) }$

Έτσι οι παραμετρικές εξισώσεις του ζητούμενου τόπου είναι:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} x(t)=-\frac{2+cost}{1+2cost} \\\\ y(t)=\frac{3sint}{1+2cost} \end{matrix} \right \}, \frac{\pi}{2}\leq t \leq \frac{3 \pi}{2} \ \ (5) }$

Ποια είναι όμως τη αναλυτική μορφή του τόπου αυτού;

Για τούτο θα απαλείψουμε τα $\displaystyle{sint,\ \ cost }$ και από τη θεμελιώδη τριγωνομετρική ταυτότητα

καταλήγουμε στην εξής μορφή:

$\displaystyle{x^2-\frac{y^2}{3}=1, \ \ x\in (-\propto, -2] \cup [0,\propto) \ \ (6) }$

η οποία είναι μια υπερβολή χωρίς όλα της τα σημεία.

ΌΛα αυτά φαίνονται στο επόμενο σχήμα:

: S - καμπύλη 2.png (36.34 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

κι ακόμα καλύτερα στο ακόλουθο δυναμικό σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/z9kymep7

Κώστας Δόρτσιος

#4

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 30, 2026 5:27 pm

η οποία είναι μια υπερβολή χωρίς όλα της τα σημεία.

Κώστα, η υπερβολή είναι με όλα της τα σημεία αν επιτρέψουμε το

να περάσει τον νότιο πόλο και να κατευθυνθεί ανατολικά μέχρι να ξαναφτάσει πάλι στον βόρειο πόλο. Τότε το

είναι το δεξί άκρο της χορδής του, ενώ το αντίστοιχο

είναι το αριστερό.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 30, 2026 6:15 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 30, 2026 5:27 pm

η οποία είναι μια υπερβολή χωρίς όλα της τα σημεία.

Κώστα, η υπερβολή είναι με όλα της τα σημεία αν επιτρέψουμε το να περάσει τον νότιο πόλο και να κατευθυνθεί ανατολικά μέχρι να ξαναφτάσει πάλι στον βόρειο πόλο. Τότε το είναι το δεξί άκρο της χορδής του, ενώ το αντίστοιχο είναι το αριστερό.

Μιχάλη καλησπέρα...

Έχεις δίκιο σ' αυτό που λες. Εγώ θεώρησα το σημείο $\displaystyle{S}$ να κινείται αποκλειστικά στο τόξο $\displaystyle{S_1S_2}$

και όχι επί ολοκλήρου του κύκλου κι αυτό γιατί έτσι καλύπτονται όλες οι περιπτώσεις της "ομόρροπης παραλληλίας"

προς τη διάμετρο $\displaystyle{AB}$ .

Βέβαια καλό θα ήταν να έλεγε στην εκφώνηση πως η χορδή $\displaystyle{CD}$ παραμένει "παράλληλη και ομόρροπη"

προς τη διάμετρο $\displaystyle{AB}$ και τότε η δικιά μου αντιμετώπιση θα ήταν η ορθή. Η λέξη "παράλληλη" δίνει

περισσότερο δίκιο στη δικιά σου αντιμετώπιση γιατί έτσι η χορδή γίνεται και ομόρροπη και αντίρροπη!

Νομίζω όμως ότι η δεύτερη αυτή περίπτωση έχει έναν πλεονασμό γιατί τελικά η υπερβολή διαγράφεται κατά

το μεγαλύτερο μέρος δυο φορές από το σημείο $\displaystyle{S}$ .

Έτσι κάπως θεωρώ εγώ την όλη αντιμετώπιση...

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #6

Η κουβέντα είναι δευτερεύουσας σημασίας , αλλά σκέφτομαι μήπως -πέραν του ομόρροπου - η έκφραση :

"τομή των ημιευθειών CK , DB

" , περιορίζει τον γεωμετρικό τόπο μόνο στον δεξιό κλάδο της υπερβολής .

Μιχάλη , ανάφερε αν θέλεις κάποιο βιβλίο Αναλυτικής Γεωμετρίας που έχει παρόμοια άσκηση .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 12:33 pm
Μιχάλη , ανάφερε αν θέλεις κάποιο βιβλίο Αναλυτικής Γεωμετρίας που έχει παρόμοια άσκηση .

ΟΛΑ.

Η άσκηση είναι του τύπου "δίνω ένα ή δύο σημεία που ικανοποιούν κάποια συνθήκη (π.χ. βρίσκονται σε έναν τόπο), και με βάση τα σημεία και βρίσκω ένα τρίτο ως κάποια τομή. Ζητάω τις συντεταγμένες του σημείου ή, ακόμα καλύτερα, την σχέση που ικανοποιούν οι συντεταγμένες (δηλαδή το τόπο που κινείται)".

Για παράδειγμα

1) Αρχίζω με δύο σημεία A,B

και ψάνω τα σημεία

με

σταθερό. (Ορισμός της έλλειψης).

2) Το ίδιο με διαφορά SA-SB

. (Ορισμός υπερβολής).

3) Αρχίζω με μία δεδομένη παραβολή. Παίρνουμε τυχαίο σημείο

της δοθείσας παραβολής και έστω

το δεύτερο σημείο στην ίδια εστιακή χορδή. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

όπου τέμνονται οι εφαπτόμενες στα A, B

. (Είναι ευθεία: η διευθετούσα).

4) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής ζεύγους κάθετων εφαπτομένων σε μία έλλειψη. (Είναι ο λεγόμενος διευθύνων κύκλος.)

5) Ο ορισμός της κογχοειδούς του Νικομήδη είναι ακριβώς τέτοιου τύπου πρόβλημα.

6) Ο ορισμός της κισσοειδούς του Διοκλέους είναι ακριβώς τέτοιου τύπου πρόβλημα.

7) Ο ορισμός της Μάγισσας της Agnesi είναι ακριβώς τέτοιου τύπου πρόβλημα. Βλέπε εδώ.

Tα παραδείγματα δεν έχουν τέλος.

KARKAR · #8

Ωραία ! Δεν θεωρώ την άσκηση εφάμιλλη των παραπάνω . Πάντως το σχόλιο :

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 30, 2026 12:23 pm

Πρόκειται για άσκηση που υπάρχει κατά χιλιάδες σε όλα τα βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας, μόνο τα νούμερα αλλάζουν.

Μάλλον χάνω την εκπαιδευτική της σκοπιμότητα, πάρα από επανάληψη της επανάληψης.

νομίζω ότι είναι κάπως υπερβολικό .

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 5:02 pm
... νομίζω ότι είναι κάπως υπερβολικό .

Καθόλου. Άλλωστε το τεκμηρίωσα.

Ευκαιρία να ερμηνεύσω τι εννοώ.

Όλες αυτές οι ασκήσεις έχουν το εξής κοινό: Τα δεδομένα της άσκησης δίνουν αλγεβρικές σχέσεις οι οποίες είναι σχεδόν άμεσες από το γεωμετρικό σχήμα. Τις λύνουμε αλγεβρικά, για να βρούμε τα κοινά σημεία. Αν ακόμη ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων, απλά κάνουμε απαλοιφή των παραμέτρων.

Για παράδειγμα στην παραπάνω άσκηση βρήκαμε τις εξισώσεις δύο ευθειών, εδώ τις CK, DB

, από δεδομένα σημεία ή κλίσεις. Μέχρι εδώ, χιλιοειπωμένο. Κατόπιν λύσαμε ένα απλό σύστημα για να βρούμε το κοινό τους σημείο, και ότι βγει. Τελειώσαμε.

Αναρωτιέμαι πού είναι το καινούργιο στοιχείο; Μόνο τα νούμερα αλλάζουν, εργαζόμενοι με την μία ή την άλλη αλγεβρική παράσταση συνηθισμένου τύπου.

Για παράδειγμα βλέπουμε ακριβώς το ίδιο μοτίβο σε άλλη σημερινή άσκηση εδώ.

Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις η Γεωμετρία υποβαθμίζεται, ενώ η Άλγεβρα είναι ρουτίνα. Ξανά και ξανά το ίδιο μοτίβο.

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 12:33 pm
Η κουβέντα είναι δευτερεύουσας σημασίας , αλλά σκέφτομαι μήπως -πέραν του ομόρροπου - η έκφραση :

"τομή των ημιευθειών " , περιορίζει τον γεωμετρικό τόπο μόνο στον δεξιό κλάδο της υπερβολής .

Μιχάλη , ανάφερε αν θέλεις κάποιο βιβλίο Αναλυτικής Γεωμετρίας που έχει παρόμοια άσκηση .

Καλημέρα και καλό μήνα...

Επανέρχομαι στο σχολιασμό του γεωμετρικού αυτού τόπου:

1ο) Εγώ μελέτησα, όπως ανάφερα και σε προηγούμενο μήνυμα μου, το γεωμετρικό τόπο θεωρώντας ότι

η χορδή $\displaystyle{CD}$ κινείται παράλληλα και ομόρροπα προς τη διάμετρο $\displaystyle{AB}$ και βέβαια το σημείο $\displaystyle{C}$

διαγράφει το τόξο $\displaystyle{S_1S_2}$ από την αρχή του μέχρι πέρατος αυτού. Και βέβαια το σημείο $\displaystyle{S}$ του

τόπου αυτού το θεώρησα γενικά ως το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{CK, \ \ DB}$ .

2ο) Μελετώντας το ανωτέρω μήνυμα του Θανάση (θεματοδότη), ότι ουσιαστικά ζητείται ο γ. τόπος

των ημιευθειών $\displaystyle{CK, \ \ DB}$ και ότι ο γ. τόπος είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής, παρατηρείται

ότι ο δεξιός κλάδος εμφανίζεται κατά την κίνηση της χορδής $\displaystyle{CD}$ (ουσιαστικά του σημείου $\displaystyle{C}$ ),

όχι καθόλο το διάστημα του τόξου $\displaystyle{S_1S_2}$ , αλλά μέρους αυτού. Αυτό καθιστά απαραίτητο να

θεωρηθεί ο γ. τόπος ως σημείο τομής των ευθειών ή στην ανάγκη να διατυπωθεί στην εκφώνηση

το όριο μεταβολής της παραλληλίας της χορδής $\displaystyle{CD}$ .

Για καλύτερη κατανόηση της άποψης αυτής παραθέτω ένα σχήμα και το αντίστοχο δυναμικό.

: S - καμπύλη 3 .png (40.76 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

https://www.geogebra.org/m/xvsjuvyn

Κώστας Δόρτσιος

#11

KDORTSI έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 02, 2026 8:54 am
... Αυτό καθιστά απαραίτητο να

θεωρηθεί ο γ. τόπος ως σημείο τομής των ευθειών ή στην ανάγκη να διατυπωθεί στην εκφώνηση

το όριο μεταβολής της παραλληλίας της χορδής $\displaystyle{CD}$ .

.

: S καμπ 2.png (32.12 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

.
Κώστα, πολύ ενδιαφέροντα αυτά που γράφεις και ωραιότατα, όπως πάντα, τα κινητικά σχήματα που ανάρτησες.

Για τους αναγνώστες ας προθέσω τι θα συμβεί, ακόμη και στην περίπτωση ημιευθειών CK, DB

, αν επιτρέψουμε το

να διανύσει όλο τον κύκλο, δηλαδή επιτρέψουμε να είναι και το δεξί άκρο της μεταβλητής χορδής. Στο σχήμα είναι τα σημεία C', D'

, και οι αντίστοιχες ημιευθείες είναι οι πράσινες.

Σε αυτή την περίπτωση ο ζητούμενος τόπος είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής προσαυξημένος από ένα τμήμα του αριστερού. Ο πλήρης γεωμετρικός τόπος είναι η δύο κόκκινες γραμμές στο παραπάνω σχήμα.

#12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 02, 2026 10:54 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 02, 2026 8:54 am
... Αυτό καθιστά απαραίτητο να

θεωρηθεί ο γ. τόπος ως σημείο τομής των ευθειών ή στην ανάγκη να διατυπωθεί στην εκφώνηση

το όριο μεταβολής της παραλληλίας της χορδής $\displaystyle{CD}$ .
.

.
Κώστα, πολύ ενδιαφέροντα αυτά που γράφεις και ωραιότατα, όπως πάντα, τα κινητικά σχήματα που ανάρτησες.

Για τους αναγνώστες ας προθέσω τι θα συμβεί, ακόμη και στην περίπτωση ημιευθειών , αν επιτρέψουμε το να διανύσει όλο τον κύκλο, δηλαδή επιτρέψουμε να είναι και το δεξί άκρο της μεταβλητής χορδής. Στο σχήμα είναι τα σημεία , και οι αντίστοιχες ημιευθείες είναι οι πράσινες.

Σε αυτή την περίπτωση ο ζητούμενος τόπος είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής προσαυξημένος από ένα τμήμα του αριστερού. Ο πλήρης γεωμετρικός τόπος είναι η δύο κόκκινες γραμμές στο παραπάνω σχήμα.

Μιχάλη καλημέρα...

Έχεις δίκιο για το τί γίνεται την περίπτωση αυτή, δηλαδή όταν το $\displaystyle{C}$

διαγράφει ολόκληρο τον κύκλο. Ειδικότερα όταν το σημείο αυτό διαγράφει

τα τόξα στα διαστήματα: $\displaystyle{[120^o,240^o]}$ , $\displaystyle{[ 270^o,540^o] }$ , τότε

μόνον προκύπτουν όπως κι εσύ σχεδίασες στο σχήμα σου τα σημεία τομής

των ημιευθειών $\displaystyle{CK,DB}$ .

Σχήμα:

: S-καμπύλη 4.png (47.77 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

Παραθέτω και το αντιατοιχο δυναμικό αρχείο: https://www.geogebra.org/m/pa4zqaq2

Κώστας Δόρτσιος

S-καμπύλη

S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Re: S-καμπύλη

Μέλη σε σύνδεση