Μαξιμαλιστικός λόγος

KARKAR · #1

: Μαξιμαλιστικός λόγος.png (21.87 KiB) Προβλήθηκε 29 φορές

Επί ημιευθείας η οποία έχει αρχή την κορυφή

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

και είναι παράλληλη

και ομόρροπη προς την βάση

, κινείται σημείο

. Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SB}{SC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2026 12:13 pm
Μαξιμαλιστικός λόγος.pngΕπί ημιευθείας η οποία έχει αρχή την κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου και είναι παράλληλη

και ομόρροπη προς την βάση , κινείται σημείο . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SB}{SC}$ .

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ASB, ASC

είναι:

: Μαξιμαλιστικός λόγος.png (17.02 KiB) Προβλήθηκε 18 φορές

$\displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{{x^2} + ax + {a^2}}}{{{x^2} - ax + {a^2}}}\le 3,$ με την ισότητα να ισχύει όταν $\boxed{x=a}$

Άρα, $\boxed{ {\left( {\frac{{SB}}{{SC}}} \right)_{\max }} = \sqrt 3}$

#3

Καλημέρα σε όλους. Παρόμοια με του Γιώργου, με χρήση παραγώγων.

: 09-5-2026 Γεωμετρία.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 11 φορές

Έστω πλευρά τριγώνου

.

$\displaystyle B\left( {0,0} \right),\;A\left( {\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),\;C\left( {1,0} \right),\;\;S\left( {a,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

Το πηλίκο $\displaystyle \frac{{BS}}{{SC}}$ γίνεται μέγιστο όταν το $\displaystyle {\left( {\frac{{SC}}{{BS}}} \right)^2}$ γίνει ελάχιστο.

Αναζητούμε το ελάχιστο του $\displaystyle {\left( {\frac{{SC}}{{BS}}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{{a^2} + \frac{3}{4}}} = 1 + \frac{{1 - 2a}}{{{a^2} + \frac{3}{4}}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = \frac{{4 - 8a}}{{4{a^2} + 3}}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( a \right) = \frac{{8\left( {4{a^2} - 4a - 3} \right)}}{{{{\left( {4{a^2} + 3} \right)}^2}}}$ και παρουσιάζει ελάχιστο για $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ .

Οπότε $\displaystyle {\frac{{BS}}{{SC}}_{\max }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)}^2} + \frac{3}{4}} }} = \sqrt 3$ .

#4

Και εδώ μια προεκτασούλα:

Αποδείξτε ότι για τη θέση του

για την οποίαν έχουμε μέγιστο πηλίκο $\displaystyle \frac{BS}{SC}$ , το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του BSC

είναι το

.

Al.Koutsouridis · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2026 12:13 pm
Μαξιμαλιστικός λόγος.pngΕπί ημιευθείας η οποία έχει αρχή την κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου και είναι παράλληλη

και ομόρροπη προς την βάση , κινείται σημείο . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SB}{SC}$ .

Έστω

το συμμετρικό σημείο του σημείου

ως προς το σημείο

. Τότε στο εγγεγραμμένο, ως ισοσκελές τραπέζιο SCBT

, από το θέωρημα Πτολεμαίου έχουμε

$SB\cdot ST=BC\cdot ST+SC\cdot TB$

$SB^2=BC \cdot 2AS+SC^2$

$\left (\dfrac{SB}{SC} \right)^2= 2 \cdot \dfrac{BC\cdot AS}{SC\cdot SC} +1$

$\left (\dfrac{SB}{SC} \right)^2= 2 \cdot \dfrac{AC\cdot AS}{SC\cdot SC} +1$

Η τελευτάια σχέση λόγω του θεωρήματος ημιτόνων στο τρίγωνο SAC

( $\dfrac{SC}{\sin \hat{A}}=\dfrac{AC}{\sin \hat{S}}=\dfrac{AS}{\sin \hat{C}}$ ) , γίνεται

$\left (\dfrac{SB}{SC} \right)^2= \dfrac{2}{\sin^2 \hat{A}} \cdot \left ( \sin \hat{S} \cdot \sin \hat{C} \right)+1$

Αρκεί λοιπόν να μεγιστοποιήσουμε το γινόμενο $\sin \hat{S} \cdot \sin \hat{C}$ . Το οποίο γράφεται

$\sin \hat{S} \cdot \sin \hat{C} = \dfrac{1}{2} \left [ \cos \left (\hat{S}-\hat{C} \right) -\cos \left( \hat{S}+\hat{C}\right)\right ]=$

$=\dfrac{1}{2} \left [ \cos \left (\hat{S}-\hat{C} \right) -\cos \left( 120^0\right)\right ] = \dfrac{1}{2} \cos \left (\hat{S}-\hat{C} \right) +\dfrac{1}{4}$

Η τελευταία μεγιστοποιείται όταν $\hat{S}=\hat{C}$ , δηλαδή όταν το τρίγωνο SAC

είναι ισόπλευρο. Η μέγιστη τιμή του τετραγώνου του ζητούμενου λόγου σε αυτό το σημείο είναι

$\left (\dfrac{SB}{SC} \right)^2 = \dfrac{2}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \cdot \dfrac{3}{4}+1 = 3$

Επομένως η ζητούμενη μέγιστη τιμή είναι $\sqrt{3}$ .

Μαξιμαλιστικός λόγος

Μαξιμαλιστικός λόγος

Re: Μαξιμαλιστικός λόγος

Re: Μαξιμαλιστικός λόγος

Re: Μαξιμαλιστικός λόγος

Re: Μαξιμαλιστικός λόγος

Μέλη σε σύνδεση