Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

#1

: ορθ σε ημικ.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου

είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή

απέχει από το

απόσταση

.

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλή Κυριακή!
Με χρήση του σχήματος
Η

τέμνει τον κύκλο στο

οπότε η

είναι διάμετρος.

Έχουμε $CE\cdot CD=CA\cdot CH$ . Με OE=OD=p

και

προκύπτει

,

ενώ το Π.Θ στο ορθ. ABH

μας δίνει $\left ( 21+y \right )^{2}+16^{2}=4p^{2}$ .

Η λύση του συστήματος μας δίνει μόνη δεκτή λύση CH=y=9

και ζητούμενη ακτίνα $\boxed{OE=p=17}$

Φιλικά, Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2026 6:54 pm

.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

Η λύση του Γιώργου χωρίς σύστημα...

: shape.png (25.94 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2026 6:54 pm
ορθ σε ημικ.png
.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle \cos (K\widehat AC) = \sin \theta$ και με νόμο συνημιτόνων στα KAB, KAC

έχω:

: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \cos \theta = \frac{8}{R} \hfill \\ \hfill \\ \sin \theta = \frac{{R + 28}}{{3R}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{64}}{{{R^2}}} + \frac{{{{(R + 28)}^2}}}{{9{R^2}}} = 1 \Leftrightarrow {R^2} - 7R - 170 = 0,$ με δεκτή ρίζα $\boxed{R=17}$

Ιστοσελίδα · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2026 6:54 pm

.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

: shape2.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2026 6:54 pm
ορθ σε ημικ.png
.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

Κατασκευή ( δεν ζητείται και καλώς ) .

Έχω το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC\,(A = 90^\circ ,AB = 16\,\,,AC = 21)$ και τον κύκλο , $\left( {C,7} \right)$ .

Θέλω να κατασκευάσω κύκλο που να διέρχεται από τα A,B

και να εφάπτεται εσωτερικά του $\left( {C,7} \right)$ .

Αρκεί να γράψω κύκλο με μόνη απαίτηση να τέμνει το δεδομένο κύκλο .

Επειδή δόθηκαν νούμερα επιλέγω να κατασκευάσω τον κύκλο $\left( {Z,A,B} \right)$ . όπου

το σημείο τομής του

$\left( {C,7} \right)\,\,$ με την

η κοινή χορδή ,

τέμνει την ευθεία

στο σταθερό σημείο

. Από τη δύναμη

του σημείου

ως προς τον $\left( {Z,A,B} \right)$ έχω : $SZ \cdot SH = \dfrac{{3969}}{4}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AS = \dfrac{{49}}{2}$ .

: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο_Lampru.png (37.65 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

Από το

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα ,

. στον κύκλο , $\left( {C,7} \right)$ .

Το

μαζί με τα $A\,\,,\,\,B$ ορίζουν τον κύκλο που θέλω . Ισχύει , $S{D^2} = SA \cdot SB = \dfrac{{3969}}{4} \Rightarrow SD = \dfrac{{63}}{2}$

Υπολογισμοί (με βάση την κατασκευή )

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ASDC

προκύπτει εύκολα ότι $\tan \omega = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \tan \theta = \dfrac{3}{4}$ .

Έτσι : $AC = 21\,\,,\,\,AJ = 28\,\,,\,\,NJ = 20\,\,,\,KJ = 25\,\,,m = 12\,\,,\,\,k = 8$ , οπότε τελικά KE = x = 17

.

Προφανές ότι οι υπόλοιπες λύσεις είναι πολύ- πολύ απλούστερες από τα παραπάνω .

#8

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 24, 2026 10:41 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2026 6:54 pm

.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;
shape2.png

#9

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 24, 2026 1:04 am
Καλή Κυριακή!
Με χρήση του σχήματος
Η τέμνει τον κύκλο στο οπότε η είναι διάμετρος.

Έχουμε $CE\cdot CD=CA\cdot CH$ . Με και προκύπτει ,

ενώ το Π.Θ στο ορθ. μας δίνει $\left ( 21+y \right )^{2}+16^{2}=4p^{2}$ .

Η λύση του συστήματος μας δίνει μόνη δεκτή λύση και ζητούμενη ακτίνα $\boxed{OE=p=17}$

Φιλικά, Γιώργος.

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2026 6:54 pm
ορθ σε ημικ.png
.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

Μια παρόμοια με του Γιώργου του Μήτσιου

Έστω λυμένο το πρόβλημα

Ας είναι

το μέσο του

. Φέρνω τη BT = y

παράλληλη στην

, ας είναι δε KT = KC = x

.

Από το τραπέζιο ABTC

έχω : $\dfrac{{y + 21}}{2} = KM\,\,\,\left( * \right)\,\,\,$ και $K{M^2} = K{A^2} - M{A^2}\,\,\,\left( { * * } \right)$ .

Ας είναι

το άλλο σημείο τομής του κύκλου και της

. Λόγω συμμετρίας CP = y

.

: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο_Αντίστροφα.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

Επειδή $CD \cdot CE = CA \cdot CP \Rightarrow 7\left( {2x + 7} \right) = 21y \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{{2x + 7}}{3}}\,\,\,\left( 1 \right)$ αλλά οι $\left( * \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( { * * } \right)$ δίδουν:

$\displaystyle \boxed{{{\left( {\frac{{y + 21}}{2}} \right)}^2} = {{\left( {x + 7} \right)}^2} - 64}\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right)$ έχω δεκτή λύση $x = 10 \Rightarrow \boxed{R = KE = 17}$ .

STOPJOHN · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2026 6:54 pm
ορθ σε ημικ.png
.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$ . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

Τα τρίγωνα ACK,KHT

είναι ίσα αρα HT=21

Από τις τεμνόμενες χορδές

$DE,HB,2OK.21=7(2R-7)\Leftrightarrow OK=\dfrac{2R-7}{6},OK+\dfrac{21}{2} =KN\Leftrightarrow KN=\dfrac{28+R}{3}, AKN,(28+R)^{2}+64.9=9R^{2}\Leftrightarrow R^{2}-7R-170=0,R=17$

Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο σε ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση