Τρεις διχοτόμοι

KARKAR · #1

: Τρεις διχοτόμοι.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Στο τρίγωνο ABC

φέραμε τις διχοτόμους

και

. Βρείτε μια ιδιότητα την οποία

πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε η διχοτόμος της $\widehat{ADC}$ , να διέρχεται από το σημείο

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 28, 2026 8:34 am
Τρεις διχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο φέραμε τις διχοτόμους και . Βρείτε μια ιδιότητα την οποία

πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε η διχοτόμος της $\widehat{ADC}$ , να διέρχεται από το σημείο .

Από θεώρημα διχοτόμων είναι, $\displaystyle \frac{{bc}}{{a + c}} = AE = \frac{{bAD}}{{AD + DC}},DC = \frac{{ab}}{{b + c}} \Rightarrow AD = \frac{{bc}}{{b + c}}$

$\displaystyle A{D^2} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right) = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} + bc \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A=120^\circ}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 28, 2026 8:34 am
Τρεις διχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο φέραμε τις διχοτόμους και . Βρείτε μια ιδιότητα την οποία

πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε η διχοτόμος της $\widehat{ADC}$ , να διέρχεται από το σημείο .

Εστω

$DK\perp DL,DK=DL,EN\perp AB,EP\perp BD,NE=EP,E\Pi \perp AD, EN=E\Pi =EP,\hat{BAD}=\hat{DAC}=\omega$

Οποτε το σημείο

είναι το

παράκεντρο του τριγώνου ABD

και $\hat{EAN}=\hat{\omega }, 3\omega =180,\omega =60,2\omega =A=120$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 28, 2026 8:34 am
Τρεις διχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο φέραμε τις διχοτόμους και . Βρείτε μια ιδιότητα την οποία

πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε η διχοτόμος της $\widehat{ADC}$ , να διέρχεται από το σημείο .

Λύση στο ίδιο σκεφτικό με του Γιάννη .

Γράφω το κύκλο του $\vartriangle ABD$ κι επειδή το

είναι το σημείο τομής της εσωτερικής διχοτόμου ,

Στο

και της εξωτερικής στο

, αναγκαστικά θα ανήκει και στη διχοτόμο της $\widehat {DAP}$ .

: Τρείς διχοτόμοι_new.png (33.2 KiB) Προβλήθηκε 44 φορές

¨Έτσι όμως οι αποστάσεις , $EP\,\,,\,\,ET$ του

από τις πλευρές αυτής της γωνίας θα είναι ίσες .

Άμεση συνέπεια : $\widehat {{\theta ^{}}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{x^{}}}\,\,$ και άρα $\widehat {{\theta ^{}}} = 60^\circ$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 28, 2026 8:34 am
Τρεις διχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο φέραμε τις διχοτόμους και . Βρείτε μια ιδιότητα την οποία

πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε η διχοτόμος της $\widehat{ADC}$ , να διέρχεται από το σημείο .

Έστω

έγκεντρο του τριγώνου ADC

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

που προφανώς είναι έγκεντρο του

τριγώνου ABD

άρα $\angle KAD= \dfrac{A}{4} =\angle BED$

Επομένως το AKDE

είναι εγγράψιμμο,άρα $\angle KEA=90^0 \Rightarrow \dfrac{3A}{4} =90^0 \Rightarrow \angle A=120^0$

: Τρεις διχοτόμοι.png (20.07 KiB) Προβλήθηκε 19 φορές

Τρεις διχοτόμοι

Τρεις διχοτόμοι

Re: Τρεις διχοτόμοι

Re: Τρεις διχοτόμοι

Re: Τρεις διχοτόμοι

Re: Τρεις διχοτόμοι

Μέλη σε σύνδεση