8 σημεία σε κωνική τομή

[∫ot.T.]

Έστω κυρτό εγγράψιμο τετράπλευρο και το σημείο τομής των . Έστω τα έγκεντρα των αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα 8 σημεία βρίσκονται πάνω σε μία κωνική τομή.

[rek2]

Σχήμα κανείς;...

[∫ot.T.]

Το ζητούμενο είναι άμεσο από το παρακάτω θεώρημα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Quartic Cayley Bacharach Theorem

[rek2]

Ονομάζω το μέσο του τόξου το σημείο τομής των και και το σημείο τομής των και

Από το Ιαπωνικό θεώρημα δανείζομαι τα εξής:
1. Το είναι ορθογώνιο και
2. Οι πλευρές του ορθογωνίου αυτού είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι διαγώνιοι του αρχικού τετράπλευρου.

Αρκεί να δείξω ότι το εξάγωνο είναι εγγράψιμο σε κωνική και τα υπόλοιπα έπονται.

Θα χρησιμοποιήσω το αντίστροφο του Pascal: Αν οι απέναντι πλευρές εξάγωνου τέμνονται σε συνευθειακά σημεία τότε είναι εγγράψιμο σε κωνική.
Για το το εξάγωνο πρέπει να δείξω ότι τα είναι συνευθειακά.

Από γνωστή ιδιότητα του έκκεντρου τα σημεία ανήκουν σε κύκλο με κέντρο τον «νότιο πόλο» . O κύκλος αυτός έχει φορσέ διάμετρο την

Ίδια σκέψη δίνει ομοκυκλικά τα σημεία

Οι γωνίες, τώρα, και είναι ορθές, οπότε τα είναι συνευθειακά και η απόδειξη έγινε.

[Nikitas K.]

Επισυνάπτω το ενημερωμένο σχήμα της λύσης του ποστ#4.

8 σημεία σε κωνική τομή.ggb

(60.72 KiB) Μεταφορτώθηκε 6 φορές

8 σημεία σε κωνική τομή.png (66.39 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

[rek2]

Το ζητούμενο είναι άμεσο από το παρακάτω θεώρημα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Quartic Cayley Bacharach Theorem

Άμεσο, ίσως. Προφανές δεν το βλέπω.

Ερώτηση: Ποιες είναι οι τεταρτοβαθμιες που τέμνονται σε 16 σημεία (με τις πολλαπλότητα τους);

[∫ot.T.]

Ερώτηση: Ποιες είναι οι τεταρτοβαθμιες που τέμνονται σε 16 σημεία (με τις πολλαπλότητα τους);

Έστω ο κύκλος και μία κωνική τομή που περνάει από πέντε εκ των 8 εγκέντρων και τα μέσα των τόξων όπως φαίνεται στο σχήμα.

Οι τεταρτοβάθμιες (κόκκινη στο σχήμα), (η μώβ) τέμνονται στα παρακάτω 16 σημεία:

Η τεταρτοβάθμια διέρχεται από 13 από τα παραπάνω σημεία, άρα από το θεώρημα quartic Cayley Bacharach, θα διέρχεται και από τα υπόλοιπα τρία.

Εφόσον τα έγκεντρα είναι υποχρεωτικά εσωτερικά του κύκλου θα πρέπει να ανήκουν στην κωνική .

[rek2]

Ερώτηση: Ποιες είναι οι τεταρτοβαθμιες που τέμνονται σε 16 σημεία (με τις πολλαπλότητα τους);

Έστω ο κύκλος και μία κωνική τομή που περνάει από πέντε εκ των 8 εγκέντρων και τα μέσα των τόξων όπως φαίνεται στο σχήμα.

Οι τεταρτοβάθμιες (κόκκινη στο σχήμα), (η μώβ) τέμνονται στα παρακάτω 16 σημεία:

Η τεταρτοβάθμια διέρχεται από 13 από τα παραπάνω σημεία, άρα από το θεώρημα quartic Cayley Bacharach, θα διέρχεται και από τα υπόλοιπα τρία.

Εφόσον τα έγκεντρα είναι υποχρεωτικά εσωτερικά του κύκλου θα πρέπει να ανήκουν στην κωνική .

"Βαρύ" θεώρημα με πολλές μορφές. Μία από όλες αυτές παίζει εδώ.
Μου μένουν κάποιες απορίες ποια είναι αυτή.
Τεσπα, αφού έχουμε λύση με απλούστερα εργαλεία το αφήνω για βολικότερο χρόνο.

[∫ot.T.]

Μερικές πληροφορίες για το θεώρημα υπάρχουν στους παρακάτω συνδέσμους, απ' όπου ήρθα σε επαφή με το θεώρημα.

https://cp4space.hatsya.com/2013/01/20/ ... lications/ (αναφέρεται τόσο το Cayley Bacharach όσο και το quartic Cayley Bacharach, ενώ ως εφαρμογή για το δεύτερο έχει το συγκεκριμένο πρόβλημα)

https://www.notzeb.com/cross.pdf (σελίδα 20 παρουσιάζεται ένα θεώρημα ως Octagrammum mysticum, το οποίο ισχύει άμεσα από το quartic Cayley Bacharach (έστω QBC). Αυτό το θεώρημα αποδεικνύει την άσκηση, ενώ στο άρθρο υπάρχουν και δύο αποδείξεις χωρίς QBC)