Συνάρτηση

mick7 · #1

Να βρεθεί μια συνάρτηση

της μορφής f(x)=ax^2+c

όπου οι

και

είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί και ισχύει

f(f(4))=16.

#2

mick7 έγραψε: Τρί Ιουν 09, 2026 9:52 pm Να βρεθεί μια συνάρτηση της μορφής
όπου οι και είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί και ισχύει

$f(f(4))=16.$

.
Είναι

16=f(f(4))=f(16a+c)=a(16a+c)^2+c

άρα

\dfrac {16-c}{a}= (16a+c)^2=

φυσικός, έστω

. Άρα

\dfrac {16-c}{a}=k

, ισοδύναμα

c=16-ka

. Άρα η προηγούμενη, δηλαδή η

k = (16a+c)^2

, γράφεται

k= (16a+16-ka)^2

(*)

Δοκιμάζουμε

\boxed {a=-1}

ώστε να μηδενιστεί το

16a+16

που βλέπουμε στην (*). Είναι τότε

k= (0-k(-1))^2

ισοδύναμα

k=k^2

, άρα

\boxed {k=1}

. Είναι τότε

c=16-ka=16-(-1)=\boxed {17}

. Με άλλα λόγια υποψήφια

είναι η

f(x)=ax^2+c=\boxed {-x^2+17}

.

Δεν έχουμε παρά νε ελέγξουμε ότι η υποψήφια

κάνει την δουλειά. Πράγματι

f(4)=-4^2+17=1

και

f(f(4))=f(1)=-1+17=16

, όπως θέλαμε.