Συνάρτηση

mick7 · #1

Να βρεθεί μια συνάρτηση

της μορφής f(x)=ax^2+c

όπου οι

και

είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί και ισχύει

f(f(4))=16.

#2

mick7 έγραψε: Τρί Ιουν 09, 2026 9:52 pm Να βρεθεί μια συνάρτηση της μορφής
όπου οι και είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί και ισχύει

$f(f(4))=16.$

.
Είναι

16=f(f(4))=f(16a+c)=a(16a+c)^2+c

άρα

\dfrac {16-c}{a}= (16a+c)^2=

φυσικός, έστω

. Άρα

\dfrac {16-c}{a}=k

, ισοδύναμα

c=16-ka

. Άρα η προηγούμενη, δηλαδή η

k = (16a+c)^2

, γράφεται

k= (16a+16-ka)^2

(*)

Δοκιμάζουμε

\boxed {a=-1}

ώστε να μηδενιστεί το

16a+16

που βλέπουμε στην (*). Είναι τότε

k= (0-k(-1))^2

ισοδύναμα

k=k^2

, άρα

\boxed {k=1}

. Είναι τότε

c=16-ka=16-(-1)=\boxed {17}

. Με άλλα λόγια υποψήφια

είναι η

f(x)=ax^2+c=\boxed {-x^2+17}

.

Δεν έχουμε παρά νε ελέγξουμε ότι η υποψήφια

κάνει την δουλειά. Πράγματι

f(4)=-4^2+17=1

και

f(f(4))=f(1)=-1+17=16

, όπως θέλαμε.

mick7 · #3

Kαι η

f(x)=-x^2+16

αφου

και

f(f(4))=f(0)=16

#4

mick7 έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 5:11 am Kαι η $f(x)=-x^2+16$ αφου και $f(f(4))=f(0)=16$

.
Σωστά. Μου είχε ξεφύγει. Προκύπτει όμως από την λύση που έγραψα, και συγκεκριμένα στο σημείο
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιουν 09, 2026 11:01 pm Είναι τότε $k= (0-k(-1))^2$ ισοδύναμα $k=k^2$ , άρα $\boxed {k=1}$ .

.
που επίσης δίνει την εκδοχή

\boxed {k=0}

. Σε αυτή την περίπτωση είναι

c=16-ka=16-0=16

, δηλαδή

\boxed { f(x)= -x^2+16}