Απόδειξη

mick7 · #1

Δίνεται ότι

x^2=2 \quad \text{και} \quad x>0.

Να δειχθεί οτι

\frac{17}{12}>x.

#2

mick7 έγραψε: Κυρ Ιουν 14, 2026 5:53 pm Δίνεται ότι $x^2=2 \quad \text{και} \quad x>0.$

Να δειχθεί οτι

$\frac{17}{12}>x.$

.
Ισοδύναμα

\dfrac{17^2}{12^2}>x^2=2

ή αλλιώς

\dfrac{289}{144}>2

. Ισοδύναμα

289> 2\cdot 144=288

, που ισχύει.

kfd · #3

#4

.

\left (\sqrt 2 >1,4 \right )\Rightarrow \left (\sqrt 2 +1> 2,4=\dfrac {24}{10}=\dfrac {12}{5} \right )\Rightarrow \left (\dfrac {1}{\sqrt 2 +1}< \dfrac {5}{12} \right)\Rightarrow

\Rightarrow \left (\sqrt 2 -1< \dfrac {5}{12}\right ) \Rightarrow \left (\sqrt 2 < \dfrac {5}{12}+1=\dfrac {17}{12}\right)

, όπως θέλαμε.

KARKAR · #5

Σχετική με την παραπάνω , αλλά για την Β' Λυκείου . Να δειχθεί ότι :

\dfrac{3}{2}\log2<\log17-\log6

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

mick7 έγραψε: Κυρ Ιουν 14, 2026 5:53 pm Δίνεται ότι $x^2=2 \quad \text{και} \quad x>0.$

Να δειχθεί οτι

$\frac{17}{12}>x.$

\dfrac{17}{12}>x \Leftrightarrow 12x<3^2+(2x)^2 \Leftrightarrow (3-2x)^2>0

αληθής

#7

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 15, 2026 8:19 am Σχετική με την παραπάνω , αλλά για την Β' Λυκείου . Να δειχθεί ότι : $\dfrac{3}{2}\log2<\log17-\log6$ .

.
Από την αρχική ανισότητα (ποστ #1) έχουμε

\dfrac {17}{12} > \sqrt 2

, ισοδύναμα

\dfrac {17}{6} > 2\sqrt 2= 2^ {\frac {3}{2}}

. Λογαριθμίζοντας, έπεται η ζητούμενη.

kfd · #8

\Leftrightarrow log2^{\frac{3}{2}}<log\frac{17}{6}\Leftrightarrow log\sqrt{8}<log\frac{17}{6}\Leftrightarrow 2\sqrt{2}<\frac{17}{6}\Leftrightarrow \sqrt{2}<\frac{17}{12}

, που ισχύει. (Η logx γνήσια αύξουσα)