Μοναδιαία κλάσματα

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση :

\dfrac{1}{x^2+x-2}+\dfrac{1}{x^2-5x+4}+\dfrac{1}{x^2+7x+10}+\dfrac{1}{x^2+13x+40}=\dfrac{1}{16}

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 16, 2026 12:41 pm Να λυθεί η εξίσωση : $\dfrac{1}{x^2+x-2}+\dfrac{1}{x^2-5x+4}+\dfrac{1}{x^2+7x+10}+\dfrac{1}{x^2+13x+40}=\dfrac{1}{16}$

Παραγοντοποιώ τους παρονομαστές και για

x \ne - 8, - 5, - 2,1,4,

η εξίσωση γράφεται:

\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x - 1)(x - 4)}} + \frac{1}{{(x + 2)(x + 5)}} + \frac{1}{{(x + 5)(x + 8)}} = \frac{1}{{16}}

\frac{1}{{x - 1}} \cdot \frac{{2(x - 1)}}{{(x + 2)(x - 4)}} + \frac{1}{{x + 5}} \cdot \frac{{2(x + 5)}}{{(x + 2)(x + 8)}} = \frac{1}{{16}}

\frac{1}{{(x + 2)(x - 4)}} + \frac{1}{{(x + 2)(x + 8)}} = \frac{1}{{32}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 2}} \cdot \frac{{2(x + 2)}}{{(x - 4)(x + 8)}} = \frac{1}{{32}}

(x - 4)(x + 8) = 64 \Leftrightarrow

$\boxed{x=8}$ ή

\boxed{x=-12}

KARKAR · #3

Ας κάνουμε την άσκηση λίγο δυσκολότερη . Να λυθεί , λοιπόν , η εξίσωση :

\dfrac{1}{x^2+x-2}+\dfrac{1}{x^2-5x+4}+\dfrac{1}{x^2+7x+10}+\dfrac{1}{x^2+13x+40}+\dfrac{1}{x^2+19x+88}=\dfrac{1}{20}

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 16, 2026 5:36 pm Ας κάνουμε την άσκηση λίγο δυσκολότερη . Να λυθεί , λοιπόν , η εξίσωση :

$\dfrac{1}{x^2+x-2}+\dfrac{1}{x^2-5x+4}+\dfrac{1}{x^2+7x+10}+\dfrac{1}{x^2+13x+40}+\dfrac{1}{x^2+19x+88}=\dfrac{1}{20}$

.
Δεν βλέπω ως προς τι έγινε δυσκολότερη ή άσκηση, πέρα από τεχνιτή εισαγωγή και άλλων πράξεων:

Αντιγράφοντας από την λύση/πράξεις του Γιώργου στο ποστ #2 αντικαθιστούμε τους τέσσερις πρώτους προσθετέους με το ίσο τους, οπότε το σύστημα γίνεται

\dfrac {4}{(x - 4)(x + 8)}+ \dfrac{1}{x^2+19x+88}=\dfrac{1}{20}

ισοδύναμα

\dfrac {4}{(x - 4)(x + 8)}+ \dfrac{1}{(x+8)(x+11)}=\dfrac{1}{20}

. Άρα

\dfrac{5}{(x-4)(x+11)}=\dfrac{1}{20}

από όπου

ή

.

Σχόλιο. Το μυστικό της άσκησης είναι ότι οι παρονομαστές παραγοντοποιούνται στην μορφή (x-a)(x-b)

όπου, σε όλες τις περιπτώσεις, b-a=3

. Έτσι, αν κάνουμε ανάλυση των κλάσμάτων, το άθροισμα γίνεται τηλεσκοπικό: Μένουν μόνο δύο όροι, και τα υπόλοιπα είναι άμεσα. Αφήνω τις λεπτομέρειες ως απλές.

KARKAR · #5

Δεν χάνουμε τίποτα με μια λεπτομερέστερη παρουσίαση της λύσης που προτείνεται από τον Μιχάλη στο σχόλιο .

Ας δούμε έναν όρο του α' μέλους : Είναι :

\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{3}{x^2+7x+10}

. Συνεπώς η εξίσωση :

\dfrac{3}{x^2-5x+4}+\dfrac{3}{x^2+x-2}+\dfrac{3}{x^2+7x+10}+\dfrac{3}{x^2+13x+40}+\dfrac{3}{x^2+19x+88}=\dfrac{3}{20}

γράφεται :

\dfrac{1}{x-4}-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+8}+\dfrac{1}{x+8}-\dfrac{1}{x+11}=\dfrac{3}{20}

ισοδύναμα :

\dfrac{1}{x-4}-\dfrac{1}{x+11}=\dfrac{3}{20}

, η οποία έχει λύσεις τις ( δεκτές ) :

x=9 , x=-16

.

Αυτός ήταν και ο λόγος που πρόσθεσα τον επιπλέον όρο στο πρώτο μέλος της εξίσωσης . Θα πω μόνο ότι η λύση

του Γιώργου είναι επίσης απολαυστική

athanasio · #6

Ωραίο!

Μοναδιαία κλάσματα

Μοναδιαία κλάσματα

Re: Μοναδιαία κλάσματα

Re: Μοναδιαία κλάσματα

Re: Μοναδιαία κλάσματα

Re: Μοναδιαία κλάσματα

Re: Μοναδιαία κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση