JBMO 2026

[Fotis34]

Καλησπέρα,

Καταρχάς καλή επιτυχία σε όλα τα μέλη της Ελλάδας και της Κύπρου!

Αν κάποιος έχει τα σημερινά θέματα, ας τα αναρτήσει.

[math23]

Καλή επιτυχία κι από εμένα στις ομάδες Ελλάδας και Κύπρου!
{Πρόβλημα .} Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

Να αποδείξετε ότι




{Πρόβλημα .} Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων τέτοια ώστε




{Πρόβλημα .} Έστω ένας ακέραιος. Υπάρχουν χρωματιστές λάμπες τοποθετημένες σε έναν κύκλο. Πιέζοντας το κουμπί μιας λάμπας μία φορά αλλάζει το χρώμα της ως εξής:

Αρχικά, όλες οι λάμπες έχουν κόκκινο χρώμα. Ο Αλαντίν κάνει κινήσεις σε αυτές τις λάμπες. Κάθε κίνηση αποτελείται από τα ακόλουθα τρία βήματα:
.επιλέγει μια λάμπα L, χωρίς να πιέσει το κουμπί της·
.πιέζει το κουμπί του δεξιόστροφου (clockwise) γείτονα της L μία φορά·
.πιέζει το κουμπί του αριστερόστροφου (counterclockwise) γείτονα της L δύο φορές.

Για κάθε , να προσδιορίσετε τον μέγιστο δυνατό αριθμό λαμπών που είναι ταυτόχρονα πράσινες, μετά από πεπερασμένο πλήθος κινήσεων.



{Πρόβλημα }Έστω ένα τρίγωνο με και έστω το έκκεντρό του. Έστω και σημεία στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοια ώστε . Οι ευθείες και τέμνονται στο . Έστω ότι η ευθεία εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων , και έχουν κοινό σημείο.

[Dimessi]

JBMO Πρόβλημα 4.png (88.37 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Έστω Η ευθεία και η ευθεία που είναι μεσοκάθετη της τέμνονται πάνω στον κύκλο στο σημείο Επομένως και άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά .

JBMO Πρόβλημα 4.png (88.37 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

[67isasexysexyprime]

Καλησπέρα, ανεβάζουμε και εμείς τα θέματα της σημερινής βαλκανιαδας νέων,
https://imgur.com/a/Le9Oyvr

*Σημείωση προς τον κ. Πούλο, αρχηγός της αποστολής είναι ο κ. Γεωργιάδης και υπαρχηγός ο κ. Μάστορης.

[67isasexysexyprime]

https://imgur.com/a/iNBSaVv
https://imgur.com/a/CR4ctAA

Εδώ 2 λύσεις στα ελληνικά για το 1ο πρόβλημα από την καταπληκτική μας 67 ομάδα!

#67forever

[Stratos Chatz]

Γεια σε όλους και καλή επιτυχία στην νεαρή μας ομάδα και από εμένα.Ορίστε η λύση του προβλήματος 2:
Από τον ορισμό της διαιρετότητας προκύπτει ότι:
b+2=k(a+1)
2a²=bm(όπου k,m θετικοί ακέραιοι)
Λύνοντας την πρώτη ως προς b,και αντικαθιστώντας στην δεύτερη παίρνουμε:
2a²+2m=kam+km
2a²-kam+2m-km=0
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι:
Δ=k²m²+8km-16m
Άρα για να υπάρχουν λύσεις πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο:
Αν k=1 τότε:
Δ=m²+8m-16m=m²-8m
Θέτουμε:
m²-8m=n²
m²-8m+16=n²+16
(m-4)²-n²=16
(m-4-n)(m-4+n)=16
Παρατηρούμε ότι επειδή m-4-n+m-4+n=2(m-4) οι αριθμοί πρέπει να είναι άρτιοι:
1)m-n-4=2
m-4+n=8

m-n=6
m+n=12

m=9
n=3

2)m-n-4=4
m+n-4=4

m-n=8
m+n=8

m=8
n=0

3)m-n-4=8
m+n-4=2

m-n=12
m+n=6

m=9
n=-3
Εύκολα παρατηρούμε ότι οι αρνητικές περιπτώσεις απορρίπτονται.
Αν k>/=2 τότε:
k²m²</=Δ<(km+4)²
Οπότε:
1)Δ=k²m²
k²m²+8km-16m=k²m²
8km-16m=0
Επειδή m>0 έχουμε:
k=2
Αντικαθιστώντας έχουμε την άπειρη οικογένεια λύσεων:
(a,b)=(a,2a)
2)Δ=(km+1)²
k²m²+8km-16m=k²m²+2km+1
6km-16m=1
Αδύνατο
Δ=(km+2)²
k²m²+8km-16m=k²m²+4km+4
4km-16m=4
km-4m=1
m(k-4)=1
Άρα m=1 και k=5
Με αντικατάσταση παίρνουμε:
b=2a²
2a²+2=5a+5
2a²-5a-3=0
Άρα a=3 ή a=-1/2 απορρίπτεται
και b=18
3)Δ=(km+3)²
k²m²+8km-16m=k²m²+6km+9
2km-16m=9
Αδύνατο
Οπότε αν k=1 και m=9,με αντικατάσταση στην νέα εξίσωση,παίρνουμε:
2a²-9a+9=0
a=3 ή a=3/2 απορρίπτεται
και b=2
Αν k=1 και m=8 τότε:
2a²-8a+8=0
a²-4a+4=0
a=2 και b=1
Άρα τελικά τα δυνατά ζεύγη είναι:
(a,b)=(2,1) ή (3,2) ή (3,18) ή (a,2a)

[achilleas]

Θερμά συγχαρητήρια στα παιδιά, καθώς και στον αρχηγό και τον υπαρχηγό!

Επισυνάπτω τα αποτελέσματα από εδώ.

[Mihalis_Lambrou]

Θερμά συγχαρητήρια στα παιδιά, και ευχαριστούμε τους συνοδούς για την δουλειά τους.