Χαμός ισοτήτων

KARKAR · #1

: Χαμός ισοτήτων.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Σημείο

βρίσκεται σε τμήμα

, πλησιέστερα προς το

. Γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο τα ημικύκλια

με διαμέτρους τις AS , SB

. Η μεσοκάθετος του

τέμνει το μεγαλύτερο ημικύκλιο στο σημείο

,

ενώ η

τέμνει το μικρότερο στο σημείο

. Δείξτε ότι το τμήμα

εφάπτεται του μικρού τόξου

και επιπλέον ότι :

MN=MT

. Για ποια θέση του

προκύπτει ότι και :

NT=TB

;

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 18, 2026 6:06 pm Χαμός ισοτήτων.pngΣημείο βρίσκεται σε τμήμα , πλησιέστερα προς το . Γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο τα ημικύκλια

με διαμέτρους τις . Η μεσοκάθετος του τέμνει το μεγαλύτερο ημικύκλιο στο σημείο ,

ενώ η τέμνει το μικρότερο στο σημείο . Δείξτε ότι το τμήμα εφάπτεται του μικρού τόξου

και επιπλέον ότι : $MN=MT$ . Για ποια θέση του προκύπτει ότι και : $NT=TB$ ;

: Χαμός.png (21 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

.
Είναι

NM^2=AM\cdot MS=MB\cdot MS

, άρα

\dfrac {NM}{MB}=\dfrac{MS}{NM}

, Συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα

MNS, MNB

είναι όμοια, οπότε

\widehat {N_1}=\widehat {B_1}

. Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο MSTN

(δύο απέναντι γωνίες ίσες) έχουμε

\widehat {Τ_1}=\widehat {Ν_1}= \widehat {B_1}

, οπότε η

είνα εφαπτομένη του κύκλου.

Έπεται τότε

MT^2=MB\cdot MS=NM^2

, δηλαδή

MT=NM

, όπως θέλαμε. Άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι οι γωνίες

\widehat {MNT},\, \widehat {NTM}

είναι ίσες ως ίσες με

90-\widehat {Β_1}

και οι δύο. Άρα το MNT

είναι ισοσκελές με

MN=MT

Για την θέση του

με

NT=TB

, η κάθετος

θα διέρχεται από το μέσον της

. Άρα από την ομοιότητα των τριγώνων

MNS, SKT, TKB

εύκολα βλέπουμε ότι

SK= \dfrac {1}{2} MS

και άρα

MB= MS+SK+KB= \dfrac {3}{2} MS+ \dfrac {1}{2} MB

, οπότε

\dfrac {1}{2} AB=MB= 3MS

ισοδύναμα

\boxed {MS= \dfrac {1}{6} AB}

.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 18, 2026 6:06 pm Χαμός ισοτήτων.pngΣημείο βρίσκεται σε τμήμα , πλησιέστερα προς το . Γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο τα ημικύκλια

με διαμέτρους τις . Η μεσοκάθετος του τέμνει το μεγαλύτερο ημικύκλιο στο σημείο ,

ενώ η τέμνει το μικρότερο στο σημείο . Δείξτε ότι το τμήμα εφάπτεται του μικρού τόξου

και επιπλέον ότι : $MN=MT$ . Για ποια θέση του προκύπτει ότι και : $NT=TB$ ;

Από το ισοσκελές NAB

αλλά και το εγγράψιμο

MSTN,

όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, έστω με $\theta.$ Άρα

η

εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου. Εξάλλου,

N\widehat TM=N\widehat SM=90^\circ-M\widehat NS=90^\circ-\theta=M\widehat NT,

οπότε

MT=MN.

: Χαμός ισοτήτων.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Είναι

ΜΝ=ΜΤ=\dfrac{NB}{2},

άρα

\theta=30^\circ,

απ' όπου εντοπίζεται το

και στη συνέχεια το

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 18, 2026 6:06 pm Χαμός ισοτήτων.pngΣημείο βρίσκεται σε τμήμα , πλησιέστερα προς το . Γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο τα ημικύκλια

με διαμέτρους τις . Η μεσοκάθετος του τέμνει το μεγαλύτερο ημικύκλιο στο σημείο ,

ενώ η τέμνει το μικρότερο στο σημείο . Δείξτε ότι το τμήμα εφάπτεται του μικρού τόξου

και επιπλέον ότι : $MN=MT$ . Για ποια θέση του προκύπτει ότι και : $NT=TB$ ;

Οι στοιχειώδεις λύσεις είναι οι πλέον ενδεδειγμένες .

Ας δούμε όμως μια άλλη ακόμη και για λόγους πλουραλισμού .

: Χαμός ισοτήτων_a.png (29.69 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές

Φέρνουμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο ημικυκλίων και την προβολή

του

στην

.

Επειδή οι

\widehat A = \widehat B

, ως παρά τη βάση ισοσκελούς τριγώνου , θα είναι $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( συμπληρώματα ίσων γωνιών).

Συνέπεια των πιο πάνω , οι τετράδες

\left( {N,T\D,B} \right)

και

\left( {M,K\B,S} \right)

Είναι αρμονικές .

Άρα η

εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου, Επί πλέον

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _4}}

, οπότε

MN = MT

.

Αν θέλουμε επίσης ,

NT = TB

: Χαμός ισοτήτων_b.png (28.62 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές

Ο αρμονικός λόγος ,

2 = \dfrac{{NB}}{{NT}} = \dfrac{{DN}}{{DT}} \Rightarrow 2 = \dfrac{{MB}}{{BK}} = \dfrac{{SM}}{{SK}}

και αν

θα προκύψει:

SB = 2x\,\,\,,\,\,AB = 6x

Χαμός ισοτήτων

Χαμός ισοτήτων

Re: Χαμός ισοτήτων

Re: Χαμός ισοτήτων

Re: Χαμός ισοτήτων

Μέλη σε σύνδεση