Καθετότητα

#1

: Καθετότητα.png (29.78 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Δίδεται τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ και

το σημείο επαφής

του εγγεγραμμένου του κύκλου $\left( I \right)$ με την πλευρά

.

Η ευθεία που ορίζεται από το νότιο πόλο ,

, του $\vartriangle ABC$ με το

, τέμνει ακόμα τον $\left( O \right)$ στο

.

Δείξετε ότι

AT \bot IT.

Όπου

το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ .

Dimessi · #2

Πρώτη λύση
Η αντίστροφη πόλου

και ακτίνας

μετασχηματίζει τον κύκλο (O)

στην ευθεία

και οι εικόνες των A,T

είναι τα σημεία

D',D

αντίστοιχα όπου

το ίχνος της

εσωτερικής διχοτομου στην BC.

\angle ATI=\angle D'DI=90^\circ.

Δεύτερη λύση

Από Θ.διχοτομου στο $\vartriangle BTC$ είναι

BT/TC=DB/DC=BF/CE

όπου E,F οι επαφές του εγκυκλου με τις πλευρές

και

αντίστοιχα ,

οπότε το

ταυτίζεται με το Α-Petersen σημείο του $\vartriangle ABC$ ως προς τα σημεία

E,F,

άρα

T\in (AEF)

ο οποίος έχει διάμετρο AI.

Και με εφαπτομενικοτητα της SI στον κύκλο (IDT) προκύπτει....

#3

Dimessi έγραψε: Σάβ Ιουν 20, 2026 11:32 pm Πρώτη λύση
Η αντίστροφη πόλου και ακτίνας μετασχηματίζει τον κύκλο στην ευθεία και οι εικόνες των είναι τα σημεία $D',D$ αντίστοιχα όπου το ίχνος της εσωτερικής διχοτομου στην
$\angle ATI=\angle D'DI=90^\circ.$

Δεύτερη λύση

Από Θ.διχοτομου στο $\vartriangle BTC$ είναι $BT/TC=DB/DC=BF/CE$

όπου E,F οι επαφές του εγκυκλου με τις πλευρές και αντίστοιχα ,

οπότε το ταυτίζεται με το Α-Petersen σημείο του $\vartriangle ABC$ ως προς τα σημεία $E,F,$ άρα $T\in (AEF)$ ο οποίος έχει διάμετρο

Και με εφαπτομενικοτητα της SI στον κύκλο (IDT) προκύπτει....

Καθετότητα

Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση