Ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων...

giannimani · #1

Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

τα σημεία

και

είναι τα μέσα των πλευρών

και

αντίστοιχα. Στην πλευρά

θεωρούμε σημείο

και στην πλευρά

σημείο

έτσι ώστε

\angle KCD= \angle ABM

και

\angle LAB=\angle CDN

.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραπλεύρου ABCD

.

Dimessi · #2

$\bullet$ Έστω

R\equiv AD \cap BC.

Είναι

\angle DAL=\angle DAC+\angle LAC\overset{D\in (ABC)}=\angle DBC+\angle BDN=\angle DNL \Longrightarrow L\in (ADN)

\Longrightarrow RL\cdot RN=RD\cdot RA=RC\cdot RB\overset{NB=NC}\Longrightarrow \left ( R,C,L,B \right )=-1.

Ομοίως

\angle BCM=\angle BCA+\angle ACM

\overset{D\in (ABC)}=\angle BDA+\angle KBD=\angle BKM\Longrightarrow K\in (BCM)\Longrightarrow RK\cdot RM=RC\cdot RB=RD\cdot RA\overset{MA=MD}\Longrightarrow \left ( R,D,K,A \right )=-1.

Οι σημειοσειρές

(R,C,L,B)=(R,D,K,A)=-1

οπότε

AC \cap BD \cap KL \equiv S.