Κολόνες της ΔΕΗ

[Mihalis_Lambrou]

ΔΕΗ.png (2.96 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

.
Σε έναν δρόμο μήκους m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι m και m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν θέλουμε οι κολόνες να απέχουν μεταξύ τους ίσες αποστάσεις;

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.0

Αν η λύση σας χρησιμοποιεί Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη, πρέπει να τεκμηριώσετε το βήμα. Άλλιώς θα θεωρηθεί ότι είναι κατά τύχη σωστή.

[kfd]

Αφού πρέπει να βρούμε τον μικρότερο δυνατό αριθμό από κολόνες, χρειαζόμαστε τον μεγαλύτερο φυσικό που να διαιρεί τους και και αυτός είναι ο ΜΚΔ τους, δηλαδή ο , άρα οι κολόνες θα είναι 126:18=7 στο πρώτο κενό και 144:18=8 στο δεύτερο, δηλαδή συνολικά 15.

[athanasio]

Αφού πρέπει να βρούμε τον μικρότερο δυνατό αριθμό από κολόνες, χρειαζόμαστε τον μεγαλύτερο φυσικό που να διαιρεί τους και και αυτός είναι ο ΜΚΔ τους, δηλαδή ο , άρα οι κολόνες θα είναι 126:18=7 στο πρώτο κενό και 144:18=8 στο δεύτερο, δηλαδή συνολικά 15.

Η ερώτηση είναι:
"πόσες κολόνες πρέπει να προστεθούν..."
Άρα σύμφωνα με το παραπάνω σκεπτικό σου, θα πρέπει να είναι

Γράφω "σύμφωνα με το σκεπτικό σου", διότι τώρα που άρχισα να τη λύνω, πήγα λίγο ανάποδα τη λύση...

[athanasio]

Προσωπικά για να είμαι σίγουρος είπα:

Με το ΜΚΔ βγαίνουν και κενά αντίστοιχα.
Όμως υπάρχει η περίπτωση να είναι οι αποστάσεις δεκαδικοί αριθμοί.
(Το ΜΚΔ υπολογίζει όχι τις κολώνες, αλλά τις αποστάσεις).

Για να είμαι σίγουρος ότι οι αποστάσεις δεν είναι δεκαδικοί αριθμοί, άρχισα τις δοκιμές (βαριέμαι τώρα τις αποδείξεις και προσπαθώ να σκεφτώ σαν παιδί δημοτικού):
Οι κολόνες και τα κενά που σχηματίζονται πρέπει να είναι ακέραιοι.
Άρα αν υπάρχει καλύτερη λύση από αυτή του ΜΚΔ, πρέπει τα κενά στο πρώτο τμήμα να είναι λιγότερα από .
Δοκιμάζω με κολώνες, κλπ... απορρίπτονται όλες.

Σωστή λύση αυτή που βγαίνει από το ΜΚΔ (6 και 7 κολώνες)

[athanasio]

Στα παραπάνω δοκιμάζω αν οι μη ακέραιες λύσεις του 1ου τμήματος (αποστάσεις κολώνων) δίνουν ακέραιο αποτέλεσμα πλήθους κολώνων στο 2ο τμήμα.

Δεν συμβαίνει, γι' αυτό απορρίπτονται.

[Mihalis_Lambrou]

βαριέμαι τώρα τις αποδείξεις

.
Καλό είναι να αποφεύγουμε τέτοια νοοτροπία.

Ναι μεν το κλίμα στο mathematica είναι φιλικό, και έτσι πρέπει να είναι, όμως δεν πρέπει να δίνουμε την εντύπωση ότι είναι χαβαλές.

Αν γράψουμε κάτι στο φόρουμ, που σημαίνει ότι προσκαλούμε πολλές εκατοντάδες ανθρώπους να το διαβάσουν, πρέπει να έχει κάποιο περιεχόμενο, όσο λίγο και αν είναι αυτό.

[athanasio]

Συγγνώμη. Οκ, θα το προσέξω

[Mihalis_Lambrou]

Έχω τις επιφυλάξεις μου και για τις δύο παραπάνω λύσεις διότι θεωρούν ότι οι αποστάσεις μεταξυ κολονών πρέπει να είναι ακέραιος (από όπου συμπεραίνουν ότι ο ακέραιος αυτός πρέπει να είναι διαιρέτης των και .

Να όμως που αν έχουμε κολόνες αριστερά και δεξιά, οι μεταξύ τους αποστάσεις αριστερά και δεξιά είναι ίσες, συγκεκριμένα , αλλά το δεν είναι ακέραιος.

Για τον λόγο αυτό βάζω την δική μου λύση, που δεν χρησιμοπιεί ΜΚΔ.
.

κολόνες.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

.
Έστω η απόσταση ανάμεσα σε δύο κολόνες, όταν προστεθούν νέες κολόνες ώστε οι μεταξύ τους αποστάσεις να είναι ίσες. Έστω ακόμη ότι τα ενδιάμεσα κενά από την αριστερή κολόνα μέχρι την μεσαία είναι (δηλαδή υπάρχουν νέες κολόνες), και από την μεσαία στην δεξιά είναι (δηλαδή υπάρχουν νέες κολόνες). Θα δούμε ότι υπάρχουν πολλές τιμές των που ικανοποιούν τις συνθήκες αλλά θέλουμε εκείνη που το είναι το μικρότερο δυνατό. Έχουμε και . Διαιρώντας, παίρνουμε (το κλάσμα δεξιά είναι ανάγωγο).

Έπεται ότι . Επειδή τα και δεν έχουν κοινούς παράγοντες σημαίνει ότι η ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες πρέπει να περιέχει το το οποίο εμφανίζεται στο δεξί μέλος. Άρα για κάποιον θετικό φυσικό . Θέτοντας αυτή την τιμή του πίσω στην , έπεται μετά την απλοποίηση ότι . Άρα , που η μικρότερή του τιμή προκύπτει από το . Τελικά . Άρα τοποθετούμε κολόνες αριστερά της μεσαίας και κολόνες δεξιά της. Σύνολο κολόνες.

[athanasio]

Έχω τις επιφυλάξεις μου και για τις δύο παραπάνω λύσεις διότι θεωρούν ότι οι αποστάσεις μεταξυ κολονών πρέπει να είναι ακέραιος (από όπου συμπεραίνουν ότι ο ακέραιος αυτός πρέπει να είναι διαιρέτης των και .

Στη δική μου λύση απέδειξα ότι δεν έχει μη ακέραιες λύσεις.
Αλλά όντως έπρεπε να ήμουν πιο αναλυτικός.

Ξαναγράφω λίγο καλύτερα:

1ο μέρος απόδειξης:
Η ακέραια βέλτιστη λύση είναι κολώνες και η μεταξύ τους απόσταση είναι μέτρα.
Το ΜΚΔ (, ) είναι το 18, δηλαδή εκφράζει την απόσταση δύο διαδοχικών κολωνών.
Δεν την παραθέτω εδώ, έγινε αρκετά αναλυτικά παραπάνω

2ο μέρος απόδειξης:
Μήπως υπάρχουν και μη ακέραιες λύσεις;
Οι μη ακέραιες λύσεις προφανώς δεν είναι το πλήθος των κολωνών. Πχ δεν μπορούμε να έχουμε 2,7 κολώνες.
Οι μη ακέραιες λύσεις θα εκφράζουν την απόσταση των κολωνών. Άρα δεν μπορεί εδώ να δουλέψει ο τρόπος με τον ΜΚΔ.

Πώς θα διαπιστώσουμε ότι η ακέραια λύση που βρήκαμε πριν ως προς την απόσταση δύο διαδοχικών κολωνών είναι η βέλτιστη μεταξύ όλων (ακεραίων και μη);


Το πλήθος των κολωνών είναι σίγουρα ακέραιος, όπως γράψαμε παραπάνω.
Αν υπάρχει άλλη βέλτιστη λύση με μη ακέραια απόσταση, τότε θα είναι για το 1ο τμήμα:
ενδιάμεσες κολώνες
ενδιάμεσες κολώνες
ενδιάμεσες κολώνες
ενδιάμεσες κολώνες
ενδιάμεση κολώνα
Αλλιώς δεν θα είναι βέλτιστη.

Ας πάρουμε την πρώτη περίπτωση: ενδιάμεσες κολώνες (όμοια δουλεύουμε και με τις άλλες)
Τότε η ενδιάμεση απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κολωνών θα είναι:

Έτσι όμως πρέπει να συμβεί και στο 2ο τμήμα. Ίδια απόσταση πρέπει να υπάρχει κι εκεί.
Όμως τότε θα πρέπει το 2ο τμήμα να χωριστεί σε τμήματα, άτοπο (πρέπει το πλήθος των τμημάτων - όχι η απόσταση! - να είναι ακέραιος).

Όμοια απορρίπτονται κι οι άλλες περιπτώσεις.

[athanasio]

Επίσης να αναφέρω εδώ ότι όντως ήμουν απρόσεκτος όταν έγραψα το "βαριέμαι τώρα να κάνω αποδείξεις" και ζητώ πάλι συγγνώμη και από τον κ. Λάμπρου και από όσους στενοχώρησα.

Αλλά ίσως αξίζει ως ξεχωριστή άσκηση να αναφέρω τι εννοούσα:

Πριν το γράψω αυτό έκανα πολλούς πειραματισμούς με πολλά διαφορετικά νούμερα σε αυτήν την άσκηση.
Σε όλους όσους δοκίμασα, παρατήρησα ότι επαληθευόταν η εικασία:
"Αν το παραπάνω πρόβλημα (για κάθε ζεύγος ακεραίων αριθμών) έχει μη ακεραία λύση, τότε αυτή δεν είναι βέλτιστη".

Πχ ας πάρουμε το ζευγάρι , δηλαδή μέτρα το πρώτο τμήμα, το δεύτερο.
Έχουν μη ακεραία λύση (απόσταση διαδοχικών κολωνών) το μέτρα, με τμήματα.
Όμως δεν είναι η βέλτιστη: αυτή είναι η απόσταση , με τμήματα.

Σε αυτήν την εικασία αναφερόμουν. Κι επειδή ήδη είχα σκεφτεί τον άλλο τρόπο λύσης, σταμάτησα να ασχολούμαι με την απόδειξή της.

Έχει κανείς κάποια ιδέα για απόδειξη; Είναι κατ΄ αρχάς σωστή;

[Nikitas K.]

ΔΕΗ.png
.
Σε έναν δρόμο μήκους m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι m και m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν θέλουμε οι κολόνες να απέχουν μεταξύ τους ίσες αποστάσεις;

Έστω τα κενά αριστερά από τη δεδομένη «μεσαία» κολώνα τότε:

Πρέπει οι κολώνες να απέχουν μεταξύ τους ,
τα κενά δεξιά από τη δεδομένη «μεσαία» κολώνα είναι και

επειδή πρέπει τα κενά δεξιά να είναι περισσότερα από τα κενά αριστερά άρα ισχύει:



Αν τότε:

τα κενά δεξιά είναι ,

oι κολώνες απέχουν μεταξύ τους μέτρα,
υπάρχει η δεδομένη «μεσαία» κολώνα που απέχει μέτρα από τη δεδομένη αριστερή ακριανή κολώνα και
υπάρχει η δεδομένη δεξιά ακριανή κολώνα που απέχει μέτρα από τη δεδομένη «μεσαία» κολώνα.

Οπότε ικανοποιούνται τα δεδομένα του προβλήματος.

Συνεπώς αρκεί να προσθέσουμε κολώνες.

[Nikitas K.]

ΔΕΗ.png

.
Σε έναν δρόμο μήκους m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι m και m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν θέλουμε οι κολόνες να απέχουν μεταξύ τους ίσες αποστάσεις;

Έστω η απόσταση που απέχουν μεταξύ τους οι κολώνες.

Τα κενά αριστερά και δεξιά από τη δεδομένη «μεσαία» κολώνα είναι οι θετικοί ακέραιοι και αντίστοιχα άρα είναι θετικός ρητός

οπότε υπάρχουν οι θετικοί ακέραιοι και τέτοιοι, ώστε να είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους και

Aπό τα κενά εκατέρωθεν της «μεσαίας» κολώνας ο είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών και οπότε από τη γενίκευση του λήμματος του Ευκλείδη είναι και κοινός διαιρέτης του και του οπότε εξ ορισμού είναι το πολύ όσο ο μέγιστος κοινός διαιρέτης αυτών από όπου έπεται ότι

Διαλέγοντας τη μέγιστη απόσταση μέτρα, καθώς μεγαλύτερη απόσταση αντιστοιχεί σε ελάχιστο αριθμό κενών και άρα κολόνων, τότε από την πρώτη κολόνα στα:

μέτρα βρίσκεται η δεδομένη «μεσαία» κολώνα και

μέτρα βρίσκεται η δεδομένη τελευταία κολώνα.

Εν κατακλείδι πρέπει να προσθέσουμε κολώνες.