Ατυχές μέγιστο

KARKAR · #1

: Ατυχές μέγιστο.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές

$\bigstar$ Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ κινείται σημείο

. Η

τέμνει την

στο σημείο

. Δημιουργήστε

συνάρτηση η οποία να αποδίδει το (BST)

και βρείτε ( έστω με χρήση λογισμικού ) , το

(BST)_{max}

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 7:04 pm $\bigstar$ Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ κινείται σημείο . Η τέμνει την στο σημείο . Δημιουργήστε

συνάρτηση η οποία να αποδίδει το και βρείτε ( έστω με χρήση λογισμικού ) , το $(BST)_{max}$ .

Καλημέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα θεωρώντας ότι η ακτίνα του

τεταρτοκύκλιου είναι μονάδα.

: Μέγιστο εμβαδόν 1.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Το σημείο $\displaystyle{S}$ έχει συντεταγμένες:

S=(cost,sint),\ \ t\in[0, \frac{\pi}{2}] \ \ (1)

Οι εξισώσεις των $\displaystyle{OS}$ και $\displaystyle{AB}$ είναι:

OS:y=(tant)x, \ \ (2)

AB: x+y=1, \ \ (3)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (2) και (3) προκύπτουν οι συντεταγμένες του

σημείου τομής $\displaystyle{T}$ . Έτσι είναι:

T=(\frac{1}{1+tant}, \frac{tant}{1+tant} ) \ \ (4)

Ακόμα είναι:

A=(1,0), \ \ B=(0,1) \ \ (5)

Από τις (4) και (5) και από το γνωστό τύπο της ορίζουσας βρίσκουμε ότι τε εμβαδόν

του τριγώνου

h(t)=(BST)

δίνεται από τον τύπο:

h(t) =\frac{1}{2} \left | sint-\frac{tant}{1+tant} \right |, \ \ t \in [0,\frac{\pi}{2}) \ \ (6)

Με τη βοήθεια του λογισμικού Geogebra βρίσκουμε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης αυτής

στο συγκεκριμένο διάστημα. Είναι λοιπόν:

h_{max}\approx 0.12

και την τιμή αυτή τη λαμβάνει για

x\approx 1.02 rad =58.17^o \ \ (7)

Η μεταβολή της συνάρτησης αυτής εμφανίζεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Μέγιστο εμβαδόν 2.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Για καλύτερη αντίληψη του όλου δρώμενου αναρτώ και το δυναμικό σχήμα

στην παρακάτω διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/nt7nyuh8

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 7:04 pm Ατυχές μέγιστο.png $\bigstar$ Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ κινείται σημείο . Η τέμνει την στο σημείο . Δημιουργήστε

συνάρτηση η οποία να αποδίδει το και βρείτε ( έστω με χρήση λογισμικού ) , το $(BST)_{max}$ .

: Ατυχές.png (12.48 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές

.
Έστω

η ακτίνα. Θέτουμε

OF=CS=a

(η μεταβλητή μας) οπότε

SF=\sqrt {R^2=a^2}

. Επίσης γράφουμε

DT=OE=h

, οπότε

TE=EA=R-h

.

Από τα όμοια τρίγωνα

OSF, \, OTE

έχουμε

\dfrac {SF}{OF}=\dfrac {TE}{OE}

, ή αλλιώς

\dfrac {\sqrt {R^2-a^2}}{a}=\dfrac {R-h}{h}

, από όπου

h= \dfrac {aR}{a+\sqrt {R^2-a^2}}

Συνεπώς

(BST)= (OBS)-(OBT)= \dfrac {1}{2} aR- \dfrac {1}{2} hR= \boxed {\dfrac {1}{2} aR- \dfrac {1}{2} \dfrac {aR^2}{a+\sqrt {R^2-a^2}}}

Για το μέγιστο, αλλά αφήνω την επίπονη πληκτρολόγιση, με παραγώγιση και θέτοντας ίσο με

θα οδηγηθούμε στην

-2a^3+2a+\sqrt {R^2-a^2}-1=0

.

Θα βρούμε με λογισμικό

a\approx 0,84962R

από όπου το ζητούμενο μέγιστο. Tο αφήνω ως ρουτίνα και άκρως ατυχές ερώτημα. Δουλειά να 'χουμε.

Ατυχές μέγιστο

Ατυχές μέγιστο

Re: Ατυχές μέγιστο

Re: Ατυχές μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση