Σε φέτες

[αρψ2400]

Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με και .Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα τέτοια ώστε καθένα από αυτά να έχει ένα άκρο του στην και ένα στην . Αυτά διαμερίζουν το ορθογώνιο σε κομμάτια. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή εμβαδού που μπορεί να πάρει το κομμάτι με το μεγαλύτερο εμβαδόν;
(Δεν έχω λύση του παραπάνω προβλήματος. Δεκτές και απόπειρες προσέγγισης του ελάχιστου.)

[gbaloglou]

3

4-τραπέζια.png

[αρψ2400]

3


4-τραπέζια.png

Αν δεν τέμνονται ναι , η απάντηση είναι προφανώς 3 με άπειρες διαμερίσεις.Αν τέμνονται;

[gbaloglou]

Απλώς ένα απλό παράδειγμα που δείχνει πως μπορούμε να φέρουμε το μέγιστο τεμάχιο ΄λίγο πιο κάτω' από το 3: μετακινώντας κάπως μία από τις δύο ΝΔ-ΒΑ ευθείες ... τα δύο εμβαδά που ήταν ίσα με 3 μικραίνουν κάπως παραμένοντας μέγιστα...

a-bit-less-than-3.png (31.9 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές

[gbaloglou]

Πιο συγκεκριμένα, αν ο συντελεστής διεύθυνσης των δύο παραλλήλων ευθειών, βρίσκω πως για μεν εξισώνονται τα εμβαδά των τετραπλεύρων και των οριζόντιας βάσης τριγώνων προς , οπότε μέγιστο εμβαδόν είναι αυτό των δύο κατακόρυφης βάσης τριγώνων (περίπου ), για δε εξισώνονται τα εμβαδά των τετραπλεύρων και των κατακόρυφης βάσης τριγώνων προς που είναι και το μέγιστο εμβαδόν σ' αυτήν την περίπτωση (ενδεχομένως και το ελάχιστο δυνατόν μέγιστο εμβαδόν).

[Για όσους και όσες θα ήθελαν ... να ελέγξουν τις πράξεις μου: τα σημεία τομής των δύο παραλλήλων ευθειών με την διαγώνιο είναι τα ενώ τα εμβαδά των κατακόρυφης βάσης τριγώνων, οριζόντιας βάσης τριγώνων, και τετραπλεύρων ισούνται αντίστοιχα προς ]

[gbaloglou]

Πιο συγκεκριμένα, αν ο συντελεστής διεύθυνσης των δύο παραλλήλων ευθειών, βρίσκω πως για μεν εξισώνονται τα εμβαδά των τετραπλεύρων και των οριζόντιας βάσης τριγώνων προς , οπότε μέγιστο εμβαδόν είναι αυτό των δύο κατακόρυφης βάσης τριγώνων (περίπου ), για δε εξισώνονται τα εμβαδά των τετραπλεύρων και των κατακόρυφης βάσης τριγώνων προς που είναι και το μέγιστο εμβαδόν σ' αυτήν την περίπτωση (ενδεχομένως και το ελάχιστο δυνατόν μέγιστο εμβαδόν).

[Για όσους και όσες θα ήθελαν ... να ελέγξουν τις πράξεις μου: τα σημεία τομής των δύο παραλλήλων ευθειών με την διαγώνιο είναι τα ενώ τα εμβαδά των κατακόρυφης βάσης τριγώνων, οριζόντιας βάσης τριγώνων, και τετραπλεύρων ισούνται αντίστοιχα προς ]

Σωστά εν γένει τα παραπάνω, και οι κρίσιμοι συντελεστές διεύθυνσης, αλλά με διορθωμένα (και μάλιστα προς τα κάτω) τα μέγιστα εμβαδά: έχουμε πλέον μέγιστο εμβαδόν λίγο κάτω από το (που θα μπορούσε να είναι και το ελάχιστο μέγιστο εμβαδόν, φαίνεται πράγματι πολύ χαμηλό πλέον). Όλα αυτά επιβεβαιώνονται και από το σχετικό διάγραμμα (με απλοποιημένη από το σύστημα την μία από τις τρεις συναρτήσεις εμβαδού).

[gbaloglou]

Μία ακόμη 'στρατηγική' ... που οδηγεί, αναπάντεχα ίσως, σε ελάχιστο μέγιστο εμβαδόν ακριβώς ίσο προς 3:

least-maximum-area-3.png (81.46 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές