Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή!

Για $\dfrac{\pi }{4}< x< \dfrac{\pi }{2}$ να δειχθεί ο τριγωνομετρικός τύπος :

tan\left ( x-\dfrac{\pi }{4} \right )=\dfrac{tanx-1}{tanx +1}

Αναζητούμε ποικιλία προσεγγίσεων-λύσεων. Ο φάκελος είναι ενδεικτικός και δεν (πρέπει να) είναι δεσμευτικός.

Δεκτές λοιπόν όλες οι λύσεις!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Ιουν 28, 2026 12:59 am Καλή Κυριακή!

Για $\dfrac{\pi }{4}< x< \dfrac{\pi }{2}$ να δειχθεί ο τριγωνομετρικός τύπος : $tan\left ( x-\dfrac{\pi }{4} \right )=\dfrac{tanx-1}{tanx +1}$

Αναζητούμε ποικιλία προσεγγίσεων-λύσεων. Ο φάκελος είναι ενδεικτικός και δεν (πρέπει να) είναι δεσμευτικός.

Δεκτές λοιπόν όλες οι λύσεις!

.
Άμεσο από τον γενικότερο τύπο

\tan (a-b) = \dfrac {\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b}

(*) και

\tan \dfrac {\pi}{4} =1

.

Με την σειρά του ο (1) βγαίνει εύκολα από τους

\tan \theta = \dfrac {\sin \theta}{\cos \theta}

και

\sin (a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b, \, \cos (a-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

.

Tα βρίσκει κανείς αυτά σε όλες τις παλιές Τριγωνομετρίες, αλλά υπάρχουν και άλλοι τρόποι. Θα επανέλθω αν χρειαστεί.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Ιουν 28, 2026 12:59 am Καλή Κυριακή!

Για $\dfrac{\pi }{4}< x< \dfrac{\pi }{2}$ να δειχθεί ο τριγωνομετρικός τύπος : $tan\left ( x-\dfrac{\pi }{4} \right )=\dfrac{tanx-1}{tanx +1}$

Αναζητούμε ποικιλία προσεγγίσεων-λύσεων. Ο φάκελος είναι ενδεικτικός και δεν (πρέπει να) είναι δεσμευτικός.

Δεκτές λοιπόν όλες οι λύσεις!

: γειτ.png (17.37 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

.
Το κάνω γενικότερα, αλλά καθαρά γεωμετρικά.

Δίνονται γωνίςες

\phi > \theta

. Από το

φέρνουμε

BA\perp OA, \, BD\perp OD

οπότε τα τρίγωνα

AEB, OAC

είναι όμοια και

\dfrac {EB}{OC}= \dfrac {AB}{OA}

(1). Έχουμε τότε

\tan (\phi - \theta)= \tan (\widehat {DOB})= \dfrac {BD}{OD}= \dfrac {ED-EB}{OC+CD} = \dfrac {\dfrac {ED}{OC}-\dfrac {EB}{OC}}{1+\dfrac {CD}{OC}}= \dfrac {\dfrac {ED}{OC}-\dfrac {EB}{OC}}{1+\dfrac {AE}{OC}}=

= \dfrac {\dfrac {ED}{OC}-\dfrac {EB}{OC}}{1+\dfrac {AE}{EB}\dfrac {EB}{OC}}=^{(1)} \dfrac {\dfrac {AC}{OC}-\dfrac {AB}{OA}}{1+\dfrac {AC}{OC}\dfrac {AB}{OA}}=\dfrac { \tan \phi - \tan \theta }{ 1+\tan \phi \tan \theta }

,

όπως θέλαμε.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #4

Εκτός με μιγαδικούς:

Είναι:

z = e^{i(x-\frac{\pi}{4})} = \cos{(x - \frac{\pi}{4}) + i \sin{(x-\frac{\pi}{4})}}

. Αν είναι

z_1 = e^{ix} = \cos{(x)} + i \sin{(x)}

και

z_2 = \cos{(-\frac{\pi}{4})} + i \sin{(-\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i

.

Έτσι θα έχουμε:

z= z_1 z_2 = e^{i(\frac{\pi}{4} - x)} = (\cos{x} + i\sin{x})\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}[(\cos{x} + \sin{x}) + i(\sin{x} - \cos{x})]

. Επομένως, από τα θέτοντας ίσα τα πραγματικά και φανταστικά μέρη παίρνουμε:

\cos{(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x} + \sin{x}), \sin{(x - \frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin{x} - \cos{x})

.

Διαιρώντας και τις δύο σχέσεις κατά μέλη έχουμε:

\tan{(x - \frac{\pi}{4})} = \frac{\sin{x} - \cos{x}}{\cos{x} + \sin{x}} = \frac{\tan{x} - 1}{\tan{x} + 1}

αφού στο δοθέν διάστημα:

\cos{x} \neq 0

.

add2math · #5

: Στην γειτονιά των πολύτροπων.png (21.09 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές

Στην ευθεία $y=\lambda x$ θεωρούμε το σημείο της

A(1,\lambda)

, από το οποίο φέρουμε ευθεία, $(\zeta)$ , κάθετη στην

(\epsilon) : y=x

.
Η $(\zeta)$ έχει εξίσωση

y-\lambda=-(x-1)

Το κοινό σημείο των $(\zeta)$ και $(\epsilon)$ είναι το

B(\frac{\lambda+1}{2},\frac{\lambda+1}{2})

Έχουμε:

$\lambda=\tan \omega$

$AB=d(A,\epsilon)=\frac{|\lambda-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\lambda-1}{\sqrt{2}}$ , αφού $\lambda=\tan (\omega)>\tan (\pi/4)=1$

$OB=\sqrt{2}x_B=\frac{\lambda+1}{\sqrt{2}}$

Άρα

\tan{(\omega -\pi/4)}=\dfrac{AB}{OB}=\dfrac{\frac{\lambda-1}{\sqrt{2}}}{\frac{\lambda+1}{\sqrt{2}}}=\dfrac{\lambda-1}{\lambda+1}=\dfrac{\tan \omega -1}{\tan \omega+1}

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Ιουν 28, 2026 12:59 am Καλή Κυριακή!

Για $\dfrac{\pi }{4}< x< \dfrac{\pi }{2}$ να δειχθεί ο τριγωνομετρικός τύπος : $tan\left ( x-\dfrac{\pi }{4} \right )=\dfrac{tanx-1}{tanx +1}$

Αναζητούμε ποικιλία προσεγγίσεων-λύσεων. Ο φάκελος είναι ενδεικτικός και δεν (πρέπει να) είναι δεσμευτικός.

Δεκτές λοιπόν όλες οι λύσεις!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Στο σχήμα έχουμε το μοναδιαίο κύκλο, την εφαπτομένη του

και

AP=AT=OA=1.

Είναι ακόμα

A\widehat OS=x

και

PL||TO.

: Στη γειτονία των πολύτροπων.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

\dfrac{{\tan x - 1}}{{\tan x + 1}} = \dfrac{{AS - AP}}{{AS + AT}} = \dfrac{{SP}}{{ST}} = \dfrac{{LP}}{{OT}} = \dfrac{{LP}}{{OP}} = \tan \theta = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)

Γιώργος Μήτσιος · #7

Χαιρετώ! Να ευχαριστήσω όλους τους συμμετέχοντες για την ποικιλία λύσεων!
Μια ακόμη που ήταν και η αφορμή για την δημοσίευση του παρόντος. Με χρήση του σχήματος:

: στη γειτονιά.png (27.67 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Ας είναι

\measuredangle ABC=x

.Έχουμε

tanx =a+1

οπότε

\dfrac{tanx -1}{tanx+1}=\dfrac{a}{a+2}...(1)

Ακόμη

BC^{2}=\left ( a+1 \right )^{2}+1

οπότε

EN^2=NC^2-EC^2=2BC^2-EC^2=..=\left ( a+2 \right )^2

, δηλ

EN=a+2

άρα

tan(x-\pi /4)= tan\theta =\dfrac{EC}{EN}=\dfrac{a}{a+2}...(2)

.

Από

και

παίρνουμε

tan(x-\pi /4)=\dfrac{tanx -1}{tanx+1}

που θέλαμε.

Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Re: Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Re: Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Re: Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Re: Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Re: Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Re: Στην γειτονιά των πολύτροπων!

Μέλη σε σύνδεση