Κατασκευή και υπολογισμός

[KARKAR]

Κατασκευή και υπολογισμός.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο με πλευρές και κάθετες τις διαμέσους . Υπολογίστε τώρα την .

Μπορείτε να κάνετε πρώτα τους υπολογισμούς . Εφαρμογή : ( για να έχουμε το ίδιο σχήμα ! ) .

[Mihalis_Lambrou]

Κατασκευή και υπολογισμός.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο με πλευρές και κάθετες τις διαμέσους . Υπολογίστε τώρα την .

Μπορείτε να κάνετε πρώτα τους υπολογισμούς . Εφαρμογή : ( για να έχουμε το ίδιο σχήμα ! ) .

διαμεσ.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές

.
Mε ο τύπος της διαμέσου (δύο φορές) δίνει

και , οπότε με πρόσθεση κατά μέλη

(1)

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι έχουμε

.

Θέτοντας στην τελευταία στην (1) παίρνουμε

, από όπου

Στο αριθμητικό παράδειγμα

[Nikitas K.]

Κατασκευή και υπολογισμός.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο με πλευρές και κάθετες τις διαμέσους . Υπολογίστε τώρα την .

Μπορείτε να κάνετε πρώτα τους υπολογισμούς . Εφαρμογή : ( για να έχουμε το ίδιο σχήμα ! ) .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος:

Λήψη ggb

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων προκύπτει:



Και το αριθμητικό παράδειγμα δίνει

[george visvikis]

Κατασκευή και υπολογισμός.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο με πλευρές και κάθετες τις διαμέσους . Υπολογίστε τώρα την .

Μπορείτε να κάνετε πρώτα τους υπολογισμούς . Εφαρμογή : ( για να έχουμε το ίδιο σχήμα ! ) .

Παρόμοιο, αλλά βασισμένο σε άσκηση παλιού σχολικού βιβλίου του 1991 των Αλιμπινίση, Δημάκου, κ.λπ,

στο κεφάλαιο των μετρικών σχέσεων, όπου έλεγε ότι αν τότε

Από τους τύπους των διαμέσων τώρα προκύπτει ότι

[KARKAR]

Το ερώτημα - πρόκληση είναι αν μπορούμε να κάνουμε αυτή την κατασκευή ,

χωρίς προηγουμένως να υπολογίσουμε την πλευρά ...

[Mihalis_Lambrou]

Το ερώτημα - πρόκληση είναι αν μπορούμε να κάνουμε αυτή την κατασκευή ,

χωρίς προηγουμένως να υπολογίσουμε την πλευρά ...

κατασκευ 2.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

.
Θα δούμε ότι για κάθε δοθέν "θέσει και μεγέθει" υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με τις εν λόγω ιδιότητες και με βάση την .

Πράγματι, γράφουμε το ημικύκλιο με διάμετρο . Παίρνουμε σε αυτό τυχαίο σημείο στην περιφέρεια. Θα δούμε ότι το τυχαίο αυτό μας κάνει, δηλαδή έχουμε άπειρα κατάλληλα τρίγωνα με το σημείο τομής των διαμέσων.

Πρώτα απ' όλα είναι , λόγω ημικυκλίου.

Προεκτείνουμε την κατά την με μήκος . Θα δούμε ότι το είναι η ζητούμενη κορυφή του τριγώνου:

Ισχύει βέβαια και η είναι διάμεσος του τριγώνου με το κέντρο βάρους. Άρα oι είναι επίσης διάμεσοι, και άρα τα είναι τα μέσα των . Τελειώσαμε αφού το έχει όλες τις ζητούμενες ιδιότητες.

[KARKAR]

Μιχάλη , ωραία κατασκευή , φοβάμαι όμως ότι είναι απάντηση σε άλλο πρόβλημα .

Θέλουμε γνωστές τις , όχι την ...

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη , ωραία κατασκευή , φοβάμαι όμως ότι είναι απάντηση σε άλλο πρόβλημα .

Θέλουμε γνωστές τις , όχι την ...

κατασκευ 3.png (25.31 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές

.
Ωραία. Συνεχίζουμε από εκεί που σταμάτησα. Θεωρούσα αυτά που έγραψα είναι η ουσία, ενώ τα υπόλοιπα συμπληρώνονται με προφανή τρόπο.

Έχουμε και λέμε, με δεδομένα (το τυχαίο, π.χ. ).

Από τα άπειρα τρίγωνα που φτιάξαμε (για δεδομένο ) επιλέγουμε εκείνο (παρακάτω εξηγώ πώς) για το οποίο , όπου τα δοθέντα. Το πετυχαίνουμε αυτό ως εξής. Το κινείται σε κύκλο, τον μεγάλο κόκκινο, αφού η απόστασή του από το είναι σταθερή. Επίσης κινείται στον κύκλο του Απολλωνίου, τον μπλε, των σημείων με . Η τομή τους μας δίνει το .

Το τρίγωνο έχει τις ζητούμενες ιδιότητες εκτός του ότι οι πλευρές του δεν είναι . Τώρα κατασκευάζουμε ένα όμοιο προς αυτό τρίγωνο πολλαπλασιάζοντας τις πλευρές του επί σταθερά ώστε να γίνουν ίσες με , Συγκεκριμένα πολλαπλάσιάζουμε επί κλίμακα ή με το ίσιο του . Τελειώσαμε.

[george visvikis]

Το ερώτημα - πρόκληση είναι αν μπορούμε να κάνουμε αυτή την κατασκευή ,

χωρίς προηγουμένως να υπολογίσουμε την πλευρά ...

Κατασκευή.ΚΑ2.png (10.52 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

Θεωρώ τμήμα και έστω το μέσο του και το μέσο του Στη συνέχεια γράφω ημικύκλιο

διαμέτρου και τον κύκλο που τέμνει το ημικύκλιο στο Το είναι το ζητούμενο τρίγωνο.


Πράγματι, το τρίγωνο έχει εκ κατασκευής και

[Doloros]

Το ερώτημα - πρόκληση είναι αν μπορούμε να κάνουμε αυτή την κατασκευή ,

χωρίς προηγουμένως να υπολογίσουμε την πλευρά ...

Κατασκευή.ΚΑ2.png
Θεωρώ τμήμα και έστω το μέσο του και το μέσο του Στη συνέχεια γράφω ημικύκλιο

διαμέτρου και τον κύκλο που τέμνει το ημικύκλιο στο Το είναι το ζητούμενο τρίγωνο.


Πράγματι, το τρίγωνο έχει εκ κατασκευής και

[kkala]

Karkar: Το ερώτημα - πρόκληση είναι αν μπορούμε να κάνουμε αυτή την κατασκευή ,
χωρίς προηγουμένως να υπολογίσουμε την πλευρά a ...

ΑΝΑΛΥΣΗ: Υποθέτουμε ότι το τριγ ABC είναι το ζητούμενο, δηλαδή AB=c, AC=b και διάμεσος ΒΝ κάθετος στη διάμεσο CM (βλ σχήμα της #9, george visvikis). Προεκτείνουμε την AC κατά CD=AC προς το μέρος του C. Στο τρίγωνο ADB το τμήμα MC ορίζεται  από τα  μέσα δύο πλευρών του, άρα MC || BD και επομένως ΒΝ κάθετος και στη BD. Συνεπώς το Β κείται σε περιφέρεια διαμέτρου ND=b+b/2=3b/2.
Αλλά το Β κείται και επί περιφέρειας κέντρου Α και ακτίνας AB=c. Άρα το Β καθορίζεται σαν τομή των δύο παραπάνω περιφερειών.
ΣΥΝΘΕΣΗ: Ακριβώς τα γραφέντα στο #9 (george visvikis), όπου γίνεται και η ΑΠΟΔΕΙΞΗ.
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ: Η διάκεντρος των δύο παραπάνω περιφερειών έχει μήκος 3b/4+b/2=5b/4, ενώ  οι ακτίνες τους c και (b+b/2)/2 =3b/4. Για να τέμνονται πρέπει και αρκεί |c-3b/4| <5b/4<c+3b/4.  Το δεξί μέλος δίνει c>b/2. To αριστερό  c>3b/4 και c<2b, ή c<3b/4 και c>-b/2. Τα παραπάνω συναληθεύουν για b/2<c<2b (1). Εξαιρείται το c=3b/4 και το c=b/2, διότι τότε οι περιφέρειες εφάπτονται και το τρίγωνο εκφυλίζεται σε ευθύγραμμο τμήμα χωρις διαμέσους. Οι περιφέρειες τέμνονται σε δύο σημεία συμμετρικά προς άξονα AD, άρα τα  προκύπτοντα τρίγωνα είναι ίσα και το πρόβλημα έχει κατ’ ουσία μία λύση.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ για c=6, b=7: Ισχύει η ικανή και αναγκαία συνθήκη (1). Έχουμε 1 λύση.

Σημ1: Στα νέα βιβλία η λέξη “περιφέρεια” έχει αντικατασταθεί με τη λέξη “κύκλος”.
Σημ2: Μόνη η ανάλυση δεν λύνει το πρόβλημα, σε αντίθεση με τη σύνθεση/απόδειξη που συνιστά από μόνη της πλήρη λύση (όπως στο #9). Αλλά κρίνεται χρήσιμο να δειχθεί στην πράξη η μεθοδολογία για τέτοιες κατασκευές στο Πρακτικό Λύκειο, την εποχή του 1966. Σήμερα η αναλύτική μέθοδος δεν υπάρχει στα σχολικά βιβλία Γεωμετρίας.
Και τότε βέβαια ο χρόνος διδασκαλίας κλασσικής γεωμετρίας (~2 ώρες/εβδομαδα στη Γ Γυμνασίου, 3 ώρες/εβδομάδα στην Α Λυκείου, 2 ώρες στην Β και Γ Λυκείου) δεν ήταν επαρκής. Ο  μαθητής δεν μπορούσε να λύσει στο σπίτι πάνω από δύο τέτοιες ασκήσεις για κάθε ώρα διδασκαλίας  (κατ’ εκτίμηση).

 Σχόλια στα παραπάνω ευπρόσδεκτα