Aνίσωση

mick7 · #1

Να λυθεί η ανίσωση

\sqrt{\sin x}>\sqrt{-\cos x}.

#2

mick7 έγραψε: Παρ Ιούλ 10, 2026 4:48 pm Να λυθεί η ανίσωση

$\sqrt{\sin x}>\sqrt{-\cos x}.$

.
Ας εργαστούμε πρώτα στο $[0,2\pi]$ και μετά χρησιμοποιούμε την περιοδικότητα κατά $2\pi$ .

Το πεδίο ορισμού απαιτεί να συναληθεύουν οι

\sin x\ge 0

και

\cos x \le 0

, ισοδύναμα

0\le x\le \pi

και

\dfrac {\pi}{2} \le x \le \dfrac {\pi}{2}

. Συνεπώς συναληθεύουν στο

\dfrac {\pi}{2} \le x \le \pi

(*).

Για

στο παραπάνω διάστημα, έχουμε

\left (\sqrt{\sin x}>\sqrt{-\cos x}\right ) \Leftrightarrow \left (\sin x>-\cos x \right ) \Leftrightarrow \left ( \sin x+ \cos x >0\right ) \Leftrightarrow \left (\dfrac {\sqrt 2}{2} \sin x+ \dfrac {\sqrt 2}{2} \cos x >0 \right ) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left ( \sin \left ( x+ \dfrac {\pi}{4} \right ) >0 \right )\Leftrightarrow \left ( 0 < x+ \dfrac {\pi}{4} < \pi \right ) \Leftrightarrow \left ( - \dfrac {\pi}{4} <x < \dfrac {3\pi}{4} \right )

που μαζί με την (*) συναληθεύουν στο

\boxed { \dfrac {\pi}{2} < x < \dfrac {3\pi}{4}}

Γενικά τώρα, για

σε ολόκληρο το $\mathbb R$ , τα διαστήματα που αληθεύει η δοθείσα είναι το προηγούμενο μετατωπισμένο κατά

2k\pi, \, k\in \mathbb Z