Υπολογισμός γωνιών

giannimani · #1

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ABC

. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε
τα ισόπλευρα τρίγωνα

ABC_{1}

και

ACB_{1}

. Έστω

,

τα μέσα των

,

BC_{1}

,

CB_{1}

αντίστοιχα. Να υπολογιστούν οι γωνίες του $\triangle KLM$ .

: equilat_triangles.png (50.86 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

#2

giannimani έγραψε: Τετ Ιούλ 15, 2026 12:45 pm Δίνεται τυχαίο τρίγωνο . Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε
τα ισόπλευρα τρίγωνα $ABC_{1}$ και $ACB_{1}$ . Έστω , , τα μέσα των
, $BC_{1}$ , $CB_{1}$ αντίστοιχα. Να υπολογιστούν οι γωνίες του $\triangle KLM$ .
equilat_triangles.png

: Υπολογισμός γωνιών.Γ.png (22.9 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Το σημείο τομής

των

είναι το σημείο $\rm Steiner$ και ως γνωστόν

BB_1=CC_1

και

B_1\widehat SC_1=120^\circ.

Αλλά,

MK||=\dfrac{CC_1}{2}, ML||=\dfrac{BB_1}{2}.

Άρα,

και

\widehat M=120^\circ, \widehat K=\widehat L=30^\circ.

giannimani · #3

Τα τρίγωνα

AC_{1}C

και

ABB_{1}

είναι ίσα, εφόσον

AC_{1}=AB

,

AC= AB_{1}

και

\angle C_{1}AC=\angle BAB_{1}=\angle BAC+ 60^{\circ}

. Επομένως,

CC_{1}=BB_{1}

και λόγω των μέσων
προκύπτει ότι

MK=\dfrac{CC_{1}}{2}=\dfrac{BB_{1}}{2}=ML

, δηλαδή, το τρίγωνο MKL

είναι ισοσκελές.

Έστω

,

τα μέσα των

,

αντίστοιχα.

: equilatsol.png (63.04 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Τότε, το τρίγωνο MNK

προκύπτει από το

CAC_{1}

με την ομοιοθεσία κέντρου

και συντελεστή $\dfrac{1}{2}$ (έχουν τις πλευρές τους παράλληλες).

Όμοια το τρίγωνο

MPL

προκύπτει από το

BAB_{1}

με την ομοιοθεσία κέντρου

και συντελεστή $\dfrac{1}{2}$ .

Επομένως,

\triangle MNK=\triangle LPM

και

\angle KML= \angle KMN +\angle NMP + \angle PML= \angle KMN+\angle MNB+ \angle NKM=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}

και εφόσον το τρίγωνο MKL

είναι ισοσκελές οι άλλες δύο γωνίες του θα είναι $30^{\circ}$ η καθεμιά.

Υπολογισμός γωνιών

Υπολογισμός γωνιών

Re: Υπολογισμός γωνιών

Re: Υπολογισμός γωνιών

Μέλη σε σύνδεση