Δύσκολη διχοτόμηση

[KARKAR]

Δύσκολη διχοτόμηση.png (9.57 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Θέλουμε να διχοτομήσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου ,

με τμήμα που έχει τα άκρα του στις μη παράλληλες πλευρές του .

α) Βρείτε την θέση ( ) του τμήματος αν αυτό είναι παράλληλο προς τις βάσεις .

β) Βρείτε μια άλλη θέση ( ) του τμήματος π.χ. αν : .

γ) Βρείτε την θέση του τμήματος αυτού , αν έχει κλίση .

[nsmavrogiannis]

Το θέμα μπορεί να αντιμετωπιστεί κάπως πιο γενικά χωρίς να γίνεται δυσκολότερο.
Το επαναδιατυπώνω.

Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Να βρεθεί τμήμα PQ με τα άκρα στις πλευρές AB, CD ώστε το APQD να έχει εμβαδόν το μισό του ABCD στις ακόλουθες περιπτώσεις:
α) Το P είναι δοθέν
β) Η διεύθυνση d του PQ είναι δοθείσα.

Για την α)

Q1.png (20.45 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Έστω και . Αν το πρόβλημα δεν έχει λύση. Αν
προφανής λύση είναι το . Η ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου αντιμετωπίζεται ονομάζοντας και κατασκευάζοντας (απλή η κατασκευή) τρίγωνο με εμβαδό

Για την (β)

Q2.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Ας πούμε ότι η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και ότι για το ισχύει (οι άλλες περιπτώσεις διερευνώνται-αντιμετωπίζονται εύκολα). Πάλι παίρνουμε . Θέλουμε . Αν συμβαίνει να είναι τότε το πρέπει να είναι παραλληλόγραμμο δοθέντος εμβαδού και η κατασκευή του είναι απλή.
Εργαζόμαστε στην απομένουσα περίπτωση όπου οι , δεν είναι παράλληλες και τέμνονται ας πούμε στο .

Q3.png (25.98 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Λογω της παραλληλίας θα είναι , .
Επίσης

δηλαδή

από την οποία προκύπτει:

Συνεπώς το είναι κατασκευάσιμο. Άρα και τα , είναι.