Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα!

: τρεις ορθές .. λογοΦέρνουν !.png (17.44 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Στο τρίγωνο ABC

η $\widehat A$ είναι ορθή και το

ύψος του.

Ο κύκλος (A, AD)

τέμνει την

στο

, ενώ η

είναι διάμετρός του.

Η κάθετη από το

προς την

τέμνει την

στο

. Αν είναι

ID=CD

τότε: Φανερώστε τον λόγο

\dfrac{BD}{BE}

.

Δεκτή κάθε λύση. Θα δοθεί λύση (είθε λύσεις ! ) και με την Ευκλείδεια.. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Nikitas K. · #2

Καλησπέρα, στο σχήμα του κ. Γιώργου Μ. ισχύει ότι:

\angle DBI = \angle CND

ως οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες,

ID = CD

και

\angle D = 90^\circ

άρα

\triangle IDB = \triangle CND

άρα

BD = ND = 2 AD := 2r

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ABD$ προκύπτει:

AB^2 = AD^2 + BD^2 = r^2 + (2r)^2 = r^2 + 4r^2 = 5r^2

Που ισοδυναμεί με:

AB = r\sqrt{5}

Από δύναμη σημείου

ως προς κύκλο προκύπτει:

AB^2 - AE^2 = BD^2

Που ισοδυναμεί με:

(r + BE)^2 - r^2 = (2r)^2 \Leftrightarrow (r+BE)^2 = 5r^2\Leftrightarrow r+BE =r\sqrt{5}\Leftrightarrow BE = r (\sqrt{5} - 1)

Επομένως:

\dfrac{BD}{BE} = \dfrac{2r}{r (\sqrt{5} - 1)}= \dfrac{2}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} = \phi

Ευχαριστώ τον κ. Γιώργο Βισβίκη που μου επισήμανε ότι είχα βρει λάθος τον ζητούμενο λόγο.
Είχα εφαρμόσει εσφαλμένα την δύναμη σημείου ως προς κύκλο.

Nikitas K. · #3

Με μια δεύτερη ματιά το

υπολογίζεται πιο εύκολα ως

AB - AE = r\sqrt{5}-r=r(\sqrt{5}-1)

κ.λπ.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Ιούλ 26, 2026 11:54 am Καλημέρα!

τρεις ορθές .. λογοΦέρνουν !.png

Στο τρίγωνο η $\widehat A$ είναι ορθή και το ύψος του.

Ο κύκλος τέμνει την στο , ενώ η είναι διάμετρός του.

Η κάθετη από το προς την τέμνει την στο . Αν είναι $ID=CD$ τότε: Φανερώστε τον λόγο $\dfrac{BD}{BE}$ .

Δεκτή κάθε λύση. Θα δοθεί λύση (είθε λύσεις ! ) και με την Ευκλείδεια.. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Με ελάχιστες διαφορές.

Λόγω του ορθογωνίου τριγώνου ABC

είναι

aAD = bc \Leftrightarrow AD = \dfrac{{bc}}{a}.

Προφανώς το

είναι ορθόκεντρο

του NBC,

άρα

D\widehat NB=D\widehat CI=45^\circ,

DB=2AD=\dfrac{2bc}{a}.

Αλλά,

BD = \dfrac{{{c^2}}}{a} \Rightarrow

\boxed{c=2b}

και

\boxed{a=b\sqrt 5}

: 3 ορθές...λογοδοτούν.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

BE = c - AE = c - \dfrac{{bc}}{a} = c\dfrac{{a - b}}{a} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BE}} = \dfrac{{2b}}{{a - b}} = \dfrac{{2b}}{{b\sqrt 5 - b}} \Leftrightarrow

\boxed{\frac{BD}{BE}=\frac{\sqrt 5+1}{2}=\phi}

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα! Ευχαριστώ θερμά τους Νικήτα και Γιώργο !

Να ευχαριστήσω τον Νικήτα και τον Θανάση (KARKAR) για την βοήθειά τους με π.μ.
όταν προσπαθούσα να ..συμμαζέψω κάτι τεράστια σχήματα..

Ας δούμε για το παρόν θέμα και το εξής: Όπως έδειξαν Νικήτας και Γιώργος ισχύει

BD=2 AD

.
Δείτε το σχήμα που ακολουθεί , μέρος του αρχικού.

: λογοδοτούν.png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Είναι στην ουσία ίδιο με αυτό της εφαρμογής 3 , παράγραφο 9.7 του σχολικού για την διαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.

Συνεπώς στο εδώ σχήμα ισχύει

\dfrac{BD}{BZ}=\dfrac{BD}{BE}=\Phi

.

Θέτω και β΄ ζητούμενο : Στο αρχικό σχήμα και χωρίς την σχέση $ID=CD$ , να δειχθεί ότι το είναι το μέσον του

Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Παρ Ιούλ 31, 2026 8:52 am Θέτω και β΄ ζητούμενο : Στο αρχικό σχήμα και χωρίς την σχέση $ID=CD$ , να δειχθεί ότι το είναι το μέσον του

Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

: 3 ορθές...λογοδοτούν.2.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Το

είναι ορθόκεντρο του

NCB,

άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και τα τρίγωνα

IDB, CDN

όμοια.

\dfrac{{ID}}{{CD}} = \dfrac{{BD}}{{ND}} \Leftrightarrow ID = \dfrac{{BD \cdot CD}}{{ND}} = \dfrac{{A{D^2}}}{{2AD}} \Leftrightarrow

\boxed{ID=\frac{AD}{2}}

και το ζητούμενο έπεται.

Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Re: Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Re: Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Re: Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Re: Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Re: Τρεις ορθές ..λογοδοτούν!

Μέλη σε σύνδεση