Ευρεση μήκους τμήματος

STOPJOHN · #1

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

ABC,\hat{B}=90^{0}

είναι

AB=PC=6,\hat{BAP}=\theta ,\hat{ACB}=2\theta

Να υπολογισθεί το μήκος του τμήματος

ΥΓ ΜΟΝΟ Γεωμετρικές λύσεις

KARKAR · #2

: john.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

... Άρα :

\dfrac{2(x/6)}{1-x^2/36}=\dfrac{x}{x+6}... \Leftrightarrow x=2

.

#3

STOPJOHN έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 5:50 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC,\hat{B}=90^{0}$ είναι $AB=PC=6,\hat{BAP}=\theta ,\hat{ACB}=2\theta$ Να υπολογισθεί το μήκος του τμήματος

ΥΓ ΜΟΝΟ Γεωμετρικές λύσεις

Προεκτείνω την

κατά τμήμα

BS=BP=x.

Το τρίγωνο ASP

είναι ισοσκελές και όμοιο με το

CAS.

: Μήκος τμήματος.ΓΣ.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές

\dfrac{{SP}}{{AS}} = \dfrac{{AS}}{{SC}} \Leftrightarrow A{S^2} = SP \cdot SC \Leftrightarrow {x^2} + 36 = 4{x^2} + 12x \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 12 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}

$\boxed{x=2}$

#4

STOPJOHN έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 5:50 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC,\hat{B}=90^{0}$ είναι $AB=PC=6,\hat{BAP}=\theta ,\hat{ACB}=2\theta$ Να υπολογισθεί το μήκος του τμήματος

: μήκος διχ.png (22.9 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

.
Φέρνουμε την διχοτόμο

της

. Επειδή είναι

BP=x+6, \, AC=\sqrt {(x+6)^2+6^2}

, έχουμε από το θεώρημα της διχοτόμου ότι

BD=\dfrac {6(x+6)}{x+6+\sqrt {(x+6)^2+6^2}}

. Έπεται τώρα από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

ABP, \, BCD

ότι

BD:BC=BP:AB

, ισοδύναμα

\dfrac {6}{x+6+\sqrt {(x+6)^2+6^2}}= \dfrac {x}{6}

, από όπου $\boxed {x=2}$ .

#5

STOPJOHN έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 5:50 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC,\hat{B}=90^{0}$ είναι $AB=PC=6,\hat{BAP}=\theta ,\hat{ACB}=2\theta$ Να υπολογισθεί το μήκος του τμήματος

ΥΓ ΜΟΝΟ Γεωμετρικές λύσεις

Φέρνουμε την διχοτόμο

. Αβίαστα προκύπτουν :

Όλες πράσινες γωνίες είναι από $\theta$ κάθε μια . Το τετράπλευρο ADPC

είναι εγγράψιμο .

DP = DA

.

Αν

η προβολή του

στην

, θα είναι

DB = DH

οπότε ,

\vartriangle HAD = \vartriangle BPD

,

: Εύρεση μήκους τμήματος.png (16.82 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

Μετά απ’ αυτά :

AH = DP = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HC = BC = x + 6

και από το Π. Θ. στο $\vartriangle ABC$ ,

A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow {\left( {x + 6 + x} \right)^2} = {6^2} + {\left( {x + 6} \right)^2}

ή

{x^2} + 4x - 12 = 0

ή

x = 2\,\,,\,\,x = - 6

. Κρατάμε το x = 2

.

KARKAR · #6

: STOP.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

Συμπληρώνω το τετράγωνο BPES

. Το

είναι προφανώς το έγκεντρο

του τριγώνου . Με Π.Θ. παίρνω :

(x+6)^2+6^2=(12-x)^2 ... \Leftrightarrow x=2

.

STOPJOHN · #7

STOPJOHN έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 5:50 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC,\hat{B}=90^{0}$ είναι $AB=PC=6,\hat{BAP}=\theta ,\hat{ACB}=2\theta$ Να υπολογισθεί το μήκος του τμήματος

ΥΓ ΜΟΝΟ Γεωμετρικές λύσεις

Kαλημέρα ευχαριστώ για τις λύσεις

Για τις γωνίες

\hat{BAP}=\hat{PAE}=\theta ,PT\perp AE,BP=PT=x,\hat{TPE}=2\theta

Από τα όμοια τρίγωνα

PTE,ABC,PE=\dfrac{x}{x+6}\sqrt{x^{2}+12x+72},(1)

Από τα όμοια τρίγωνα

ABE,ABC,PE=\dfrac{36-x^{2}-6x}{x+6},(2), (1) ,(2)\Rightarrow x^{2}+4x-12=0,x=2

athanasio · #8

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 5:37 pm
Προεκτείνω την κατά τμήμα $BS=BP=x.$ Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και όμοιο με το $CAS.$
Μήκος τμήματος.ΓΣ.png
$\dfrac{{SP}}{{AS}} = \dfrac{{AS}}{{SC}} \Leftrightarrow A{S^2} = SP \cdot SC \Leftrightarrow {x^2} + 36 = 4{x^2} + 12x \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 12 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=2}$

...ή αντί να πάρουμε τους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα τριγώνων, να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ABC

, με

AC=(2x+6)

.
ΕΚΑΝΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ.

Προκύπτει πάλι η ίδια εξίσωση.

Ευρεση μήκους τμήματος

Ευρεση μήκους τμήματος

Re: Ευρεση μήκους τμήματος

Re: Ευρεση μήκους τμήματος

Re: Ευρεση μήκους τμήματος

Re: Ευρεση μήκους τμήματος

Re: Ευρεση μήκους τμήματος

Re: Ευρεση μήκους τμήματος

Re: Ευρεση μήκους τμήματος

Μέλη σε σύνδεση