Αναπάντητο μέγιστο

KARKAR · #1

: Αναπάντητο μέγιστο.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Από σημείο

του οποίου η απόσταση από το κέντρο του κύκλου (O,r)

, ισούται με

, φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα

και μεταβλητή τέμνουσα SCB

. Βρείτε το μέγιστο του (ABC)

.

Το πρόβλημα δεν έχει απάντηση από μένα αλλά ούτε και από κάποιον άλλο , παρότι έχει ξανατεθεί στο

.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ας το δούμε γενικώτερα, με

|OS|=d>r.

Από γνωστή άσκηση γνωρίζουμε ότι

A= \left(\dfrac{r^2}{d}, \dfrac{r\sqrt{d^2-r^2}}{d}\right).

H εξίσωση της τέμνουσας SCB

είναι η

(tan\theta)x-y=dtan\theta,

όπου

\theta =\angle OSC

με

arcsin(-r/d)\leq \theta \leq arcsin(r/d),

οπότε η απόσταση του

από την

και ύψος του τριγώνου ABC

ισούται προς

h=\dfrac{r\sqrt{d^2-r^2}cos\theta +(d^2-r^2)sin\theta }{d}.

Επιλύοντας το σύστημα

(tan\theta)x-y=dtan\theta,

x^2+y^2=r^2,

προσδιορίζουμε τα σημεία τομής κύκλου και τέμνουσας ως

C=\left(dsin^2\theta +cos\theta \sqrt{r^2-d^2sin^2\theta }, sin\theta (\sqrt{r^2-d^2sin^2\theta }-dcos\theta )\right),

B=\left(dsin^2\theta -cos\theta \sqrt{r^2-d^2sin^2\theta }, -sin\theta (\sqrt{r^2-d^2sin^2\theta }+dcos\theta )\right),

οπότε εύκολα υπολογίζεται η βάση του τριγώνου ABC

ως

|BC|=2\sqrt{r^2-d^2sin^2\theta }.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, το εμβαδόν του τριγώνου υπολογίζεται άμεσα ως

(ABC)=\dfrac{\sqrt{r^2-d^2sin^2\theta }\left(r\sqrt{d^2-r^2}cos\theta +(d^2-r^2)sin\theta \right)}{d}.

H μεγιστοποίηση του ανωτέρω εμβαδού ανάγεται, μέσω μηδενισμού της παραγώγου φυσικά, στην 'τριτετράγωνη'

4d^6sin^6\theta -4d^2(d^4+r^4+d^2-r^2)sin^4\theta +(4d^4+d^4r^2+2d^2r^4+r^6-4d^2r^2+d^2-r^2)sin^2\theta -(d^2-r^2)=0.

Για

r=1, d=3

(δοθέν πρόβλημα KARKAR) η παραπάνω εξίσωση απλοποιείται στην

729sin^6\theta -810sin^4\theta +99sin^2\theta -2=0,

μία από τις λύσεις της οποίας,

\theta \approx 0,15984363 \approx 9,1583654^0,

βρίσκεται πολύ κοντά στην 'απόκρυφη' εικαζόμενη λύση του Γιώργου Βισβίκη, την οποία δεν βλέπω πια! [Αν πάμε στην μέγιστη τιμή, εγώ μεν βγάζω (WolframAlpha)

\dfrac{2}{9}\sqrt{73\sqrt{73}-595}\approx 1,190751882152,

ο δε Γιώργος είχε εικάσει

\dfrac{16+3\sqrt{2}}{17}\approx 1,19074356983

]

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 07, 2026 11:17 am Αναπάντητο μέγιστο.pngΑπό σημείο του οποίου η απόσταση από το κέντρο του κύκλου , ισούται με , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα και μεταβλητή τέμνουσα . Βρείτε το μέγιστο του .

Το πρόβλημα δεν έχει απάντηση από μένα αλλά ούτε και από κάποιον άλλο , παρότι έχει ξανατεθεί στο .

Με

το λογισμικό την στιγμή της μεγιστοποίησης δίδει τα νούμερα που φαίνονται .

Έχουν συμφωνία με αυτά που έδινε ο Γιώργος Βισβίκης δηλαδή μέγιστο εμβαδόν

E = \dfrac{{16 + 3\sqrt 2 }}{{17}}{r^2}

.

#4

gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 12:16 am
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Γιώργο συμφωνούμε στα πρώτα τέσσερα δεκαδικά ψηφία
... $\theta \approx 0,15984363 \approx 9,1583654^0,$ βρίσκεται πολύ κοντά στην 'απόκρυφη' εικαζόμενη λύση του Γιώργου Βισβίκη, την οποία δεν βλέπω πια!

Γιώργο, απέσυρα την ανάρτηση γιατί με ειδοποίησε ο Θανάσης με π.μ ότι για

\widehat B=44,94^\circ

έχουμε μεγαλύτερο εμβαδόν. Στο σχήμα μου ήταν r=3,

όπως του Νίκου Φραγκάκη.

#5

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 8:05 am
gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 12:16 am
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Γιώργο συμφωνούμε στα πρώτα τέσσερα δεκαδικά ψηφία
... $\theta \approx 0,15984363 \approx 9,1583654^0,$ βρίσκεται πολύ κοντά στην 'απόκρυφη' εικαζόμενη λύση του Γιώργου Βισβίκη, την οποία δεν βλέπω πια!
Γιώργο, απέσυρα την ανάρτηση γιατί με ειδοποίησε ο Θανάσης με π.μ ότι για $\widehat B=44,94^\circ$
έχουμε μεγαλύτερο εμβαδόν. Στο σχήμα μου ήταν όπως του Νίκου Φραγκάκη.

.

: Αναπάντητο μέγιστο.png (34.26 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

.
Έχει δίκιο ο Θανάσης

#6

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 8:05 am
gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 12:16 am
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Γιώργο συμφωνούμε στα πρώτα τέσσερα δεκαδικά ψηφία
... $\theta \approx 0,15984363 \approx 9,1583654^0,$ βρίσκεται πολύ κοντά στην 'απόκρυφη' εικαζόμενη λύση του Γιώργου Βισβίκη, την οποία δεν βλέπω πια!
Γιώργο, απέσυρα την ανάρτηση γιατί με ειδοποίησε ο Θανάσης με π.μ ότι για $\widehat B=44,94^\circ$
έχουμε μεγαλύτερο εμβαδόν. Στο σχήμα μου ήταν όπως του Νίκου Φραγκάκη.

Γιώργο ... με τρομάζεις, όλη την ώρα κοιτάω το ταχυδρομείο μου ... για κάποια μοιραία ειδοποίηση του Θανάση ... για λάθος στο δέκατο δεκαδικό

Σοβαρά τώρα Γιώργο, η αποσυρθείσα ανάρτηση σου έπαιξε πολύ θετικό ρόλο: χάρις σ' αυτήν ήξερα ότι η λύση μου, που προήλθε από επίπονους υπολογισμούς με σημαντική, ακόμη και λόγω ηλικίας κλπ, πιθανότητα λαθών, ήταν σωστή ... ευρισκόμενη τόσο κοντά στην δική σου, που βεβαίως δεν θα μπορούσε παρά να ήταν σχεδόν σωστή, προερχόμενη από εσένα (και από μια υπέροχη, αν και οριακά εσφαλμένη, εικασία!

Ας παρατηρηθεί εδώ ... ότι το τριτοβάθμιο αυτό πρόβλημα θα μπορούσε να είχε επιλυθεί πλήρως -- με δέκα ψηφία ας πούμε

-- ακόμη και πριν 100 χρόνια, τότε που υπολόγιζαν κυβικές ρίζες με το χέρι

KARKAR · #7

Στο πραγματικό σχήμα όπου η ακτίνα είναι

, βρήκα με διαδοχικές προσεγγίσεις και την βοήθεια

του λογισμικού , ότι :

E_{max}=4.763007528607755...

, ενώ ο τύπος Μπαλόγλου έδωσε

E_{max}=4.76300752860775

( τετραπλάσιο λόγω της ακτίνας )

#8

Εν κατακλείδι, το πρόβλημα έπαψε να είναι άλυτο.

Λύθηκε πλήρως από τον κ, Γιώργο (

gba\log lou

)

KARKAR · #9

Έγινε τώρα κατανοητό , γιατί το θέμα έμεινε αναπάντητο για τόσα χρόνια !

Γιώργο Μπαλόγλου , μας πρόσφερες μια θαυμάσια παράσταση

Μπορούμε πλέον να κλείσουμε κι αυτή .

#10

gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 9:36 am Ας παρατηρηθεί εδώ ... ότι το τριτοβάθμιο αυτό πρόβλημα θα μπορούσε να είχε επιλυθεί πλήρως -- με δέκα ψηφία ας πούμε
-- ακόμη και πριν 100 χρόνια, τότε που υπολόγιζαν κυβικές ρίζες με το χέρι

Δεν είναι τριτοβάθμιο, δευτεροβάθμιο είναι!!!

Πράγματι, αν εξετάσουμε την γενική περίπτωση r=1

και

βλέπουμε ότι η εξίσωση μηδενισμού της παραγώγου ανάγεται στην

(d^2sin^2\theta -1)[4d^4sin^4\theta -4d^4sin^2\theta +d^2-1]=0,

με λύσεις

sin\theta =\pm\dfrac{1}{d}

και

sin\theta =\pm \sqrt{\dfrac{d^2\pm\sqrt{d^4-d^2+1}}{2d^2}}.

... Από εδώ και πέρα θέλει περισσότερη ανάλυση, ευελπιστώ να επανέλθω ... όχι χωρίς να επισημάνω πως από το d=3

προέρχεται ο μυστηριώδης εκείνος

73=3^4-3^2+1

κλπ κλπ κλπ

#11

gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 9:38 pm
gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 9:36 am Ας παρατηρηθεί εδώ ... ότι το τριτοβάθμιο αυτό πρόβλημα θα μπορούσε να είχε επιλυθεί πλήρως -- με δέκα ψηφία ας πούμε
-- ακόμη και πριν 100 χρόνια, τότε που υπολόγιζαν κυβικές ρίζες με το χέρι
Δεν είναι τριτοβάθμιο, δευτεροβάθμιο είναι!!!

Πράγματι, αν εξετάσουμε την γενική περίπτωση και βλέπουμε ότι η εξίσωση μηδενισμού της παραγώγου ανάγεται στην

$(d^2sin^2\theta -1)[4d^4sin^4\theta -4d^4sin^2\theta +d^2-1]=0,$

με λύσεις $sin\theta =\pm\dfrac{1}{d}$ και $sin\theta =\pm \sqrt{\dfrac{d^2\pm\sqrt{d^4-d^2+1}}{2d^2}}.$

... Από εδώ και πέρα θέλει περισσότερη ανάλυση, ευελπιστώ να επανέλθω ... όχι χωρίς να επισημάνω πως από το προέρχεται ο μυστηριώδης εκείνος $73=3^4-3^2+1$ κλπ κλπ κλπ

Γιώργο, έκανες καταπληκτική δουλειά

#12

gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 9:38 pm
gbaloglou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 9:36 am Ας παρατηρηθεί εδώ ... ότι το τριτοβάθμιο αυτό πρόβλημα θα μπορούσε να είχε επιλυθεί πλήρως -- με δέκα ψηφία ας πούμε
-- ακόμη και πριν 100 χρόνια, τότε που υπολόγιζαν κυβικές ρίζες με το χέρι
Δεν είναι τριτοβάθμιο, δευτεροβάθμιο είναι!!!

Πράγματι, αν εξετάσουμε την γενική περίπτωση και βλέπουμε ότι η εξίσωση μηδενισμού της παραγώγου ανάγεται στην

$(d^2sin^2\theta -1)[4d^4sin^4\theta -4d^4sin^2\theta +d^2-1]=0,$

με λύσεις $sin\theta =\pm\dfrac{1}{d}$ και $sin\theta =\pm \sqrt{\dfrac{d^2\pm\sqrt{d^4-d^2+1}}{2d^2}}.$

... Από εδώ και πέρα θέλει περισσότερη ανάλυση, ευελπιστώ να επανέλθω ... όχι χωρίς να επισημάνω πως από το προέρχεται ο μυστηριώδης εκείνος $73=3^4-3^2+1$ κλπ κλπ κλπ

Τα παραπάνω αφορούν βεβαίως τo εμβαδόν

E(\theta )=\dfrac{\sqrt{1-d^2sin^2\theta }\left(\sqrt{d^2-1}cos\theta +(d^2-1)sin\theta \right)}{d}

του τριγώνου ABC,

όπου

\theta =\angle OSC

με

arcsin(-1/d)\leq \theta \leq arcsin(1/d),

με $\theta <0$ όταν το

είναι πάνω από την

και $\theta >0$ όταν το

είναι κάτω από την OS.

(Αναφορά πάντοτε στο αρχικό σχήμα του Θανάση, αλλά με r=1

και

|OS|=d>1,

και στην δημοσίευση #2.)

Είναι φανερό, λόγω του δεύτερου παράγοντα του αριθμητή, ότι η

E(\theta )

δεν μπορεί να έχει μέγιστη τιμή για

\theta <0,

οπότε αποκλείονται άμεσα οι τρεις από τις έξι πιθανές ρίζες της $E'(\theta )=0$ που βρήκαμε παραπάνω (δημοσίευση #10). Αποκλείεται επίσης η

sin\theta =\dfrac{1}{d},

όπου η τέμνουσα SCB

γίνεται εφαπτομένη και το εμβαδόν μηδενίζεται. Αποκλείεται όμως και η

sin\theta = \sqrt{\dfrac{d^2+\sqrt{d^4-d^2+1}}{2d^2}}

καθώς δεν αντιστοιχεί σε υπαρκτή τέμνουσα λόγω

\sqrt{\dfrac{d^2+\sqrt{d^4-d^2+1}}{2d^2}}>\dfrac{1}{d}.

Συμπεραίνουμε -- λόγω της φύσης του προβλήματος και παραλείποντας τον μέσω δευτέρας παραγώγου έλεγχο -- ότι το εμβαδόν

E(\theta )

μεγιστοποιείται όταν

sin\theta = \sqrt{\dfrac{d^2-\sqrt{d^4-d^2+1}}{2d^2}},

και

cos\theta = \sqrt{\dfrac{d^2+\sqrt{d^4-d^2+1}}{2d^2}},

ισούμενο προς

\dfrac{\sqrt{d^2-1}}{2d^2}[\sqrt{1+d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}+(d^2-1)\sqrt{1-2d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}].

Για

ο παραπάνω γενικός τύπος μεγίστου εμβαδού δίνει

\dfrac{\sqrt{2}}{9}[\sqrt{2\sqrt{73}+10}+8\sqrt{2\sqrt{73}-17}],

που είναι όντως ίσο -- γιατί και πως; -- προς το (σωστό) αποτέλεσμα που μας είχε δώσει το WolframAlpha,

\dfrac{2}{9}\sqrt{73\sqrt{73}-595}.

Παραθέτω και ένα γράφημα της συνάρτησης-εμβαδού, για r=1

και

και πάλι:

: μέγιστο-εμβαδόν-1,19.png (34.19 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές

Αναπάντητο μέγιστο

Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Re: Αναπάντητο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση