Εκθετική εξίσωση

#1

.
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση

4^x+9^x+1^x=2^{\color {red}x}+3^x+6^x

.

(Την είδα στο ίντερνετ και μου άρεσε. Έχω υπόψη μου δύο τρόπους λύσης.)

Διόρθωσα τυπογραφικό. Είναι 2^x

αντί

.

ΣΥΓΝΩΜΗ

(Η λύση που ακολουθεί έχει την παλιά, εσφαλμένη, εκφώνηση. Οπότε πρέπει τώρα να προσαρμοστεί.)

Dinhoo37 · #2

Νέα λύση κάτω κάτω.

Dinhoo37 · #3

Σκέφτηκα μία λύση για όλο το R την ανεβάζω σύντομα

#4

Διόρθωσα τυπογραφικό. Είναι 2^x

αντί

.

ΣΥΓΝΩΜΗ

Ειδικά ζητώ συγνώμη στον Dinhoo37 που ασχολήθηκε με την παλιά πια εκδοχή.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 16, 2026 12:19 am .
Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση $4^x+9^x+1^x=2^{\color {red}x}+3^x+6^x$ .

(Την είδα στο ίντερνετ και μου άρεσε. Έχω υπόψη μου δύο τρόπους λύσης.)

Διόρθωσα τυπογραφικό. Είναι αντί .

ΣΥΓΝΩΜΗ

(Η λύση που ακολουθεί έχει την παλιά, εσφαλμένη, εκφώνηση. Οπότε πρέπει τώρα να προσαρμοστεί.)

Θέτω

2^x=a, 3^x=b

και η εξίσωση γράφεται:

a^2+b^2-ab-a-b+1=0.

Πολλαπλασιάζω με

και έχω

2{a^2} + 2{b^2} - 2ab - 2a - 2b + 2 = 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} = 0,

απ' όπου

δηλαδή, $\boxed{x=0}$

Dinhoo37 · #6

Δεν υπάρχει θέμα, θα ασχοληθώ το απόγευμα
γιατί πρέπει να κλείσω

kfd · #7

Προφανής λύση το

και με $x\neq 0$ έχουμε:

\Leftrightarrow 2^{2x}+3^{2x}+1-2^{x}-3^{x}-2 \cdot 2^{x}3^{x}+2^{x}3^{x}=0\Leftrightarrow (2^{x}-3^{x})^{2}+(1-2^{x})(1-3^{x})=0

Αν

x>0\Leftrightarrow 2^{x}>1,3^{x}>1\Leftrightarrow (1-2^{x})(1-3^{x})>0

και επειδή

\left ( 2^{x}-3^{x} \right )^{2}>0

η εξίσωση δεν έχει θετική λύση.
Αν

x<0\Leftrightarrow 2^{x}<1,3^{x}<1\Leftrightarrow (1-2^{x})(1-3^{x})>0

και επειδή

\left ( 2^{x}-3^{x} \right )^{2}>0

η εξίσωση δεν έχει αρνητική λύση. Άρα μόνη λύση το 0.

Dinhoo37 · #8

Άλλη μία λύση για την νέα εκδοχή.

Θέλουμε

4^x + 9^x + 1 = 2^x + 3^x + 6^x.

Καταρχάς από ΑΜ-ΓΜ

4^x + 9^x \geq 2 \cdot 6^x

.

Έχουμε πως

2 \cdot 6^x + 1 \leq 4^x + 9^x + 1

. Ακόμη

6^x -2^x -3^x + 1 = (2^x - 1)(3^x -1) \geq 0

για κάθε

. Οπότε

2^x + 3^x + 6^x \leq 2 \cdot 6^x + 1

(γιατί

6^x + 1 \geq 2^x + 3^x

). Όμως

πρέπει

2^x + 3^x + 6^x = 4^x + 9^x + 1

.

Αυτό συμβαίνει όταν ισχύει ισότητα στην ΑΜ-ΓΜ,

δηλαδή όταν

4^x = 9^x

δηλ

.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 16, 2026 12:19 am Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση $4^x+9^x+1^x=2^{\color {red}x}+3^x+6^x$ .

.
Ωραιότατες και οι τρεις λύσεις. Από αυτές γνώριζα μόνο την μία, αλλά προσθέτω μία τέταρτη:

Με

a=2^x, \, b=3^x

ισχύει

a^2+b^2-ab-a-b+1=0

. Όλα αυτά υπάρχουν στο ποστ #5 του Γιώργου.

Ως δευτεροβάθμια ως προς

γράφεται

a^2-(b+1)a+(b^2-b+1)=0

. Για να έχει ρίζα πρέπει $D\ge 0$ , που εδώ γράφεται

-3b^2+6b-3\ge 0

, ισοδύναμα

-3(b-1)^2\ge 0

.

Έπεται b=1

, οπότε

3^x=1

, που σημαίνει x=0

. Με έλεγχο η x=0

ικανοποιεί την εξίσωση (μοναδική ρίζα).

Εκθετική εξίσωση

Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση