Προσιτή ισότητα

KARKAR · #1

: Προσιτή ισότητα.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα

και ονομάζω

την προβολή του μέσου

του

, στην ευθεία

.

α) Δείξτε ότι το

είναι εξωτερικό σημείο του ημικυκλίου .

β) Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Δείξτε ότι :

LT=LS

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Σεπ 04, 2026 6:45 pm Προσιτή ισότητα.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα και ονομάζω την προβολή του μέσου του , στην ευθεία .

α) Δείξτε ότι το είναι εξωτερικό σημείο του ημικυκλίου .

β) Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $LT=LS$ .

: Προσιτή.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

.
Έστω

. Tότε

PS= \sqrt {a^2-r^2}

και

MS= \dfrac {1}{2}\sqrt {a^2-r^2}

.

Από τα όμοια τρίγωνα

OPS, LMS

έπεται

\dfrac {LS}{MS}= \dfrac {PS}{OS}

από όπου

\boxed {LS= \dfrac {a^2-r^2}{2a}}

και άρα

OL= OS-LS= a-\dfrac {a^2-r^2}{2a}= \dfrac {a^2+r^2}{2a}

. Αυτό είναι προφανώς

>r

, που αποδεικνύει το ζητούμενο α).

Επίσης

TL^2=OL^2-r^2= \left (\dfrac {a^2+r^2}{2a} \right ) ^2-r^2= \left (\dfrac {a^2-r^2}{2a} \right ) ^2=LS^2

που αποδεικνύει το ζητούμενο β).

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Σεπ 04, 2026 6:45 pm Προσιτή ισότητα.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα και ονομάζω την προβολή του μέσου του , στην ευθεία .

α) Δείξτε ότι το είναι εξωτερικό σημείο του ημικυκλίου .

β) Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $LT=LS$ .

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Τότε στο

\vartriangle PHS

η

είναι διχοτόμος.

α) Θέτουμε:

HB = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LS = x

. Επειδή

PH < PS

και λόγω Θ. διχοτόμου ,

HB < BS

.

Έτσι :

y < BS \Rightarrow y + BS < 2BS \Rightarrow \dfrac{{y + BS}}{2} < BS

. Όμως επειδή το

είναι το μέσο του

HS = y + BS

Η προηγούμενη ανίσωση σχέση γράφεται :

LS < BS

. Αν η θετική διαφορά τους

BL = b

θα είναι :

\boxed{y + b = x\, \Leftrightarrow y = x - b\,\,\,\,\,\,(1)}

: προσιτή ισότητα.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 44 φορές

β) προφανώς αν

TL = a\,\,

θα είναι ,

{a^2} = b(b + 2r)\,\,(2)

Η τετράδα ,

(H,S\backslash A,B)

είναι αρμονική και θα ισχύει ,

\dfrac{{BH}}{{BS}} = \dfrac{{AH}}{{AS}} \Rightarrow \dfrac{y}{{b + x}} = \dfrac{{2r - y}}{{2r + b + x}}\,\,\,(3)

εξ αιτίας της (1)

η

και λόγω της (2)

, δίδει :

{x^2} = b(b + 2r) = {a^2}

, και κατά συνέπεια ,

\boxed{LS = LT}

Προσιτή ισότητα

Προσιτή ισότητα

Re: Προσιτή ισότητα

Re: Προσιτή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση