Διπλάσια ακτίνα , διπλάσια γωνία

KARKAR · #1

: Διπλάσια ακτίνα , διπλάσια γωνία.png (17.86 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

Το μεγαλύτερο από τα ομόκεντρα ημικύκλια του σχήματος , έχει ακτίνα διπλάσια εκείνης του μικρότερου .

Στην προέκταση της

, θεωρούμε σημείο

, από το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

προς

το μεγάλο ημικύκλιο και την εφαπτομένη προς το μικρό , η οποία τέμνει το μεγάλο στα σημεία Q , T

.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε το σημείο

έτσι , ώστε να είναι :

\widehat{PQT}=2\widehat{PTQ} ;

add2math · #2

: Διπλάσια ακτίνα , διπλάσια γωνία.jpg (27.08 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

Από το θεώρημα χορδής - εφαπτομένης έχουμε:

Q\hat PS=P\hat T S=\theta

και

P\hat OQ=2Q\hat PS=2\theta

Ακόμα έχουμε

P\hat QT=Q\hat PS+ P\hat SQ\Rightarrow P\hat S Q=\theta\Rightarrow QP=SQ

.
Το τετράπλευρο

ORPS

είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αφού

O\hat RS=O\hat PS=90\degree

, άρα

R\hat O P=R\hat SP=\theta

.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ORQ

η κάθετη πλευρά

είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας

,
άρα

R\hat O Q=60\degree\Rightarrow\theta+2\theta=60\degree\Rightarrow \theta=20\degree

.
Εύκολα βρίσκουμε ότι

TQ=2RQ=2\sqrt{3}r, QP=4r\sin{\theta}=4r\sin{20\degree}

.
Από την δύναμη του σημείου

στον κύκλο (O,2r)

προκύπτει ότι:

SQ\cdot ST=SA\cdot SB\Rightarrow 4r\sin{20\degree}(4r\sin{20\degree}+2\sqrt{3}r)=(4r+x)x\Rightarrow \boxed{x=-2r+2r\sqrt{1+2\sin{20\degree}(2\sin{20\degree}+\sqrt{3}r)}\approx 1,2574r}

,
μη κατασκευάσιμο, αφού η γωνία

60\degree

δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη.

KARKAR · #3

add2math έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2026 6:24 pm
Από το θεώρημα χορδής - εφαπτομένης έχουμε: $Q\hat PS=P\hat T S=\theta$ και $P\hat OQ=2Q\hat PS=2\theta$

Ακόμα έχουμε $P\hat QT=Q\hat PS+ P\hat SQ\Rightarrow P\hat S Q=\theta\Rightarrow QP=SQ$ .

Το τετράπλευρο $ORPS$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αφού $O\hat RS=O\hat PS=90\degree$ , άρα $R\hat O P=R\hat SP=\theta$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο η κάθετη πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας ,

άρα $R\hat O Q=60\degree\Rightarrow\theta+2\theta=60\degree\Rightarrow \theta=20\degree$ .

Φίλε

add2math

, ο τρόπος που διαπιστώνεις η γωνία $\theta$ είναι 20^0

, είναι εκπληκτικός και βέβαια είναι

η ουσία του ερωτήματος της εκφώνησης . Μάλιστα μπορούμε να παρακάμψουμε τον υπολογισμό

του

, πηγαίνοντας κατ' ευθείαν στην τελική διαπίστωση της αδύνατου της κατασκευής .

add2math έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2026 6:24 pm ... μη κατασκευάσιμο, αφού η γωνία $60\degree$ δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη.

Διπλάσια ακτίνα , διπλάσια γωνία

Διπλάσια ακτίνα , διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια ακτίνα , διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια ακτίνα , διπλάσια γωνία

Μέλη σε σύνδεση