Ειδική διαδρομή

KARKAR · #1

: Ειδική διαδρομή.png (9.05 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι :

AB=10 , AC=11 , BC= 12

. Σημείου

της

, ονομάζω

τις προβολές στις AB , AC

αντίστοιχα . Δείξτε ότι το άθροισμα

SP +ST

, παίρνει μόνο μία

ακέραια τιμή και ( προσπαθήστε να ) βρείτε την θέση του

, για την οποία αυτό συμβαίνει .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 08, 2026 9:52 am Ειδική διαδρομή.pngΣτο τρίγωνο είναι : $AB=10 , AC=11 , BC= 12$ . Σημείου της , ονομάζω

τις προβολές στις αντίστοιχα . Δείξτε ότι το άθροισμα $SP +ST$ , παίρνει μόνο μία

ακέραια τιμή και ( προσπαθήστε να ) βρείτε την θέση του , για την οποία αυτό συμβαίνει .

: Ειδική.png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

.
Aπό τον Νόμο των ημιτόνων είναι

\dfrac {12}{\sin A}=\dfrac {11}{\sin B}=\dfrac {10}{\sin C}

(*) και από των συνημιτόνων είναι

\cos A = \dfrac {7}{20}

οπότε

\sin A=\dfrac {3}{20}\sqrt {39}

. Επίσης με BS=x

έχουμε

SP+ST= x\sin B + (12-x) \sin C = ^{(*)} \dfrac {11}{12} x\sin A + \dfrac {10}{12} (12-x) \sin A=\dfrac {x}{12} \sin A+10 \sin A=

=\dfrac {x}{12} \cdot \dfrac {3}{20}\sqrt {39}+10 \cdot \dfrac {3}{20}\sqrt {39} =\dfrac {x}{80} \sqrt {39}+\dfrac {3}{2}\sqrt {39} \,(**)

Θέτοντας

και

βρίσκουμε τις ακραίες τιμές της (αύξουσας) (**). Είναι

SP+ST \ge \dfrac {3}{2}\sqrt {39} \approx 9,36

και

SP+ST \le \dfrac {33}{20}\sqrt {39} \approx 10,30

.

Συνεπώς παίρνει μόνο μία ακέραια τιμή, την

. Και αυτό συμβαίνει όταν

\dfrac {x}{80} \sqrt {39}+\dfrac {3}{2}\sqrt {39} =10

δηλαδή

BS=x=\dfrac {800\sqrt {39}-4680}{39}

Ειδική διαδρομή

Ειδική διαδρομή

Re: Ειδική διαδρομή

Μέλη σε σύνδεση