Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δίνεται πυραμίδα OABCD

με βάση τετράγωνο ABCD

πλευράς

και της οποίας οι παράπλευρες έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Να βρείτε:
α) Τη γωνία που σχηματίζει η ακμή

με τη διαγώνιο AC.

β) Τη δίεδρη γωνία που σχηματίζει η βάση με μια παράπλευρη έδρα.
γ) Τη δίεδρη γωνία που σχηματίζουν δύο παράπλευρες έδρες με κοινή ακμή.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2026 3:11 pm Δίνεται πυραμίδα με βάση τετράγωνο πλευράς και της οποίας οι παράπλευρες έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Να βρείτε:
α) Τη γωνία που σχηματίζει η ακμή με τη διαγώνιο
β) Τη δίεδρη γωνία που σχηματίζει η βάση με μια παράπλευρη έδρα.
γ) Τη δίεδρη γωνία που σχηματίζουν δύο παράπλευρες έδρες με κοινή ακμή.

: Πυραμ γων 1.png (25.17 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

.

Έστω

η κάθε ακμή της πυραμίδας. Εύκολα τώρα

ΟΕ=\dfrac {a\sqrt 3}{2}

και

AM=\dfrac {1}{2}AC= \dfrac {a\sqrt 2}{2}

και

OM= \sqrt {a^2-\left ( \dfrac {a\sqrt 2}{2}\right ) ^2}= \dfrac {a\sqrt 2}{2}

.

α) Το τρίγωνο OAM

είναι ισοσκελές ορθογώνιο, άρα

\boxed {\theta = 45^o}

β)

\cos \phi = \dfrac {EM}{OE}= \dfrac {\dfrac {a}{2}}{\dfrac {a\sqrt 3}{2}}= \dfrac {\sqrt 3}{3}

, άρα

\boxed {\phi =\arccos \dfrac {\sqrt 3}{3}\approx 54,73^o}

γ) Θα επανέλθω αργότερα.

#3

.
Επανέρχομαι με διόρθωση στο γ) που η αρχική μου λύση είχε ένα σφάλμα. Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Τηλέμαχο για την επισήμανση.

: Πυραμ γων 2.png (25.12 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

.
γ) Από τα μέσα E,F

των

AB, \,AD

φέρνουμε κάθετες

EG, \,FG

στις $AB,\,AD$ . Eίναι τότε

EF= \dfrac {BD}{2}= \dfrac {a\sqrt 2}{2}

και

GF=GE= AE \sin 60= \dfrac {a}{2}\dfrac {\sqrt 3}{2}= \dfrac {a\sqrt 3}{4}

.

Άρα από τον Νόμο του Συνημιτόνου στο GEF

έχουμε

\cos \omega= \dfrac {\dfrac {3a^2}{16}+ \dfrac {3a^2}{16}- \dfrac {a^2}{2} }{2\cdot \dfrac {a\sqrt 3}{4}\cdot \dfrac {a\sqrt 3}{4} }= - \dfrac {1}{3}

Άρα

\boxed { \omega = \arccos \left (- \dfrac {1}{3} \right ) \approx 109,47^o}

#4

Μιχάλη αυτό βγάζω και εγώ για το (γ) ... αν και λίγο διαφορετικά:

Τα MB, MD

είναι ύψη ισοπλεύρων τριγώνων πλευράς

ενώ η

είναι διαγώνιος τετραγώνου πλευράς

οπότε από Νόμο Συνημιτόνων και πάλι,

BD^2=MB^2+MD^2-2\cdot MB\cdot MD\cdot cos\omega ,

προκύπτει άμεσα η

cos\omega =-\dfrac{1}{3}

(από

MB=MD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}

και $BD=a\sqrt{2}$ ) και βεβαίως η

\omega\approx 109,5^0.

[Οι μαθητές και μαθήτριες ας θυμούνται ότι για τον υπολογισμό δίεδρης γωνίας αρκεί ο υπολογισμός επίπεδης γωνίας ανάμεσα σε δύο ευθείες κάθετες προς την ακμή της στο ίδιο σημείο της -- στο πρόβλημα αυτό τέτοιες κάθετες είναι ορατές εξ αρχής, καθώς οι διάμεσοι ισοπλεύρου τριγώνου είναι και ύψη, κλπ κλπ]

: δίεδρη.png (26.55 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

#5

: Πυραμ γων 3.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

.
Γιώργο, σωστά αλλά πρόσεξε ότι είναι ουσιαστικά η ίδια λύση. Το βλέπει κανείς αν σχεδιάσει το γαλάζιο τρίγωνο από την άλλη πλευρά. Τώρα τα τρίγωνα

EGF,\, BMD

είναι το ένα διπλάσιο του άλλου και έχουν παράλληλες πλευρές (διότι το

είναι το μέσον του

).

To ενδιαφέρον είναι ότι η αρχική μου απόδειξη του γ) στο ποστ #2 είναι ακριβώς αυτή που γράφεις αλλά για κακή μου τύχη σχεδίασα από (τυπογραφικό μου) λάθος την

αντί της

. Έτσι, στην διόρθωση και επανασχεδίαση προτίμησα να κάνω το σχέδιο με το μικρότερο (μισό) τρίγωνο. Θα μπορούσα να πάρω στην θέση των $E,\,F$ οποιαδήποτε σημεία στις

AB, \, AD

σε ίσες αποστάσεις από το

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

gbaloglou έγραψε: Πέμ Σεπ 10, 2026 1:25 pm Οι μαθητές και μαθήτριες ας θυμούνται ότι για τον υπολογισμό δίεδρης γωνίας αρκεί ο υπολογισμός επίπεδης γωνίας ανάμεσα σε δύο ευθείες κάθετες προς την ακμή της στο ίδιο σημείο της

Aυτό που έγραψε ο Γιώργος είναι ακριβώς αυτό που ήθελα να τονίσω θέτοντας το συγκεκριμένο πρόβλημα.
Μακάρι να το δουν κάποια παιδιά αλλά και κάποιοι συνάδελφοι.
Ευχαριστώ τόσο το Γιώργο Μπαλόγλου όσο και το Μιχάλη Λάμπρου για τον κόπο τους και το χρόνο που διέθεσαν για το θέμα.

Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

Re: Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

Re: Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

Re: Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

Re: Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

Re: Εύρεση γωνιών σε πυραμίδα

Μέλη σε σύνδεση